23) Преобразования Лапласа. Изображения тождественной, единичной и показательной функции
*Схема решения ДУ операционным методом: 1) Переходим от дифференциального уравнения к операторному 2) Находим решение x(P) операторного ур-ия 3) По изображению X(p) находим оригинал x(t)
В принципе для того, чтобы применять операционный метод для решения дифференциальных уравнений, не обязательно знать механизм построения изображения по функции-оригиналу.
Правило L – преобразование Лапласа. Оно преобразует функцию f(t) в несобственный интеграл, зависящий от параметра p. Чтобы обеспечить сходимость интегралов, мы наложим следущие условия:
F(t) – непрерывна, за исключением точек разрыва первого рода
Растет при t стремящейся к +∞ не быстрее показательной функции: существуют такие числа V>0 и s0 ≥ 0, что для всех t выполняется неравенство |f(t)| ≤ M*e^(s0t ),
Где s0 – показатель роста функции
3)f(t) тождественно равно 0 при t < 0
Единичная функция µ(t)=1 – функция, принимающая значение 1 при t≥ 0 и 0 при t< 0 Эта функция называется функцией Хевисайда. Аналогично, f(t) = sin t – это «обычный» синус при t≥0 и f(t)=0 при t<0.
Функцией-оригиналом, или просто оригиналом называется функция f(t), удовлетворяющая перечисленным выше условиям.
Изображением функции-оригинала
называется функция, которая получается
при преобразовании Лаплас
а
Соглашение. Принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения – большимию
f(t)(равно с двумя точками (отражение))F(p)
24) Теорема линейности, подобия. Теорема затухания-смещения
1)Свойство линейности. Изображением линейной комбинации является соответствующая линейная комбинация их изображений.
C1 f1 (t) +c2 f2 (t) =:= c1 F1 (p) +c2 F2 (p)
Изображение суммы оригиналов равно сумме их изображений
Теорема смещения, или затухания
e^(at) * f(t) =:= F(p-a)
т.е при умножении оригинала на показательную функцию e^(at) изображение «смещается» на a.
25) Теорема о дифференцировании оригинала
f’(t) =:= pF(p) – f(0)
В частности, если f(0) =0, то f’(t) =:= pF(p) т.е. дифференцирование оригинала сводится к умножению изображения на p.
Следствие
f ’’(t) =:= p^2 F(p) –f(0)p –f ’(0)
И вообще
f^(n) (t) =:= p^n F(p) –f(0) p^(n-1) - … - f^(n-1) (0)
Таблица оригиналов и изображений
1)1 =:= 1/p
2)e^(at) =:= 1/(p-a)
3)cosωt =:= p/(p^2 +ω^2)
4) sinωt =:= ω/(p^2 + ω^2)
5) t=:= 1/(p^2), t^2 = (2!/p^3), …, t^n =:= n!/(p^(n+1))
26)Теорема о Дифференцировании изображения. Изображение свертки
если f(t) -
функция-оригинал, и f (t)
F(p), то − t
f (t)
F ′(p).
Док-во. 
.
Дифференцируя это соотношение по
параметру р,
получаем 
.
Иллюстрации
этого свойства. С его помощью просто
получаются изображения степенных
функций: 
,
или 
; 
,
или 
,
,
или
; 
,
или 
,
и вообще 
.
Другие
иллюстрации: 
,
…, 
.
и
т.д.