21)Метод вариации произвольных постоянных
Это метод нахождения решения ЛНДУ. Рассмотрим его на примере уравнений второго порядка
Решение неоднородного уравнения начинается с решения соответствующего ЛОДУ
Пусть y1=y1(x), y2=y2(x)- его фундаментальная система решений. Тогда общее уравнение имеет вид.
Где с1 и с2- производные постоянные
Идея состоит в том, чтобы искать решение y=y(x) ЛНДУ а в таком же виде, но где с1 и с2 уже не постоянные, а некоторые неизвестные функции.
Производные С1’(x) и c2’(x) неизвестные функции являются решениями системы линейных уравнений
Определитель этой системы есть
определитель Вронского функции у1(х) и
у2(х), неизвестными являются производные
с’1, c’2 , а в правых частях
уравнений стоят 0 и f(x)-правя
часть ЛНДУ. Пусть
-решения
системы. Потом интегрируем и находим
общее решение уравнения ЛНДУ
22) Линейные ду с квазимногочленом в правой части
ЛНДУ
y^(n)+ a1 y^(n-1)+…+ an-1y’+an y=f(x) (1)
с постоянными коэффициентами ai и специальной правой частью.
Сначала нужно решить соответствующее ЛОДУ
Y^(n)+ a1 y^(n-1) +…+ an -1y’ +an y =0
Затем нужно найти частное решение y* ЛНДУ. Это всегда можно сделать методом вариации произвольных постоянных.
Тогда общее решение уравнения y=y* +y0
В случае специальной правой части y* можно найти более простым способом, не требующим интегрирования. Функции специального вида называются квазимногочленами, поскольку они похожи на многочлены, и получаются из них умножением на тригонометрические и показательные функции.
Квазимногочленом степени d и веса µ =r+iω называется функция вида f(x)=g(x)e^(rx) cosωx+ h(x) e^(rx) sinωx
Где g(x) =g0x^d +g1x^(d-1)+ … gd, h(x) = h0x^d +h1x^(d-1) +…+ hd
Есть многочлены степени d. Таким образом вес – это комплексное число µ =r+iω , действительная часть которого r – это коэффициент перед x в показательной функции e^(rx), а мнимая часть ω – коэффицент перед x y cos ωx или sin ωx
В частных случаях:
Если число µ чисто мнимое: µ =r+iω (r=0),то e^0=1 и в f(x) отсутствует показательная функция
f(x)=g(x) cos ωx +h(x) sin ωx
Если число µ действительное: µ=r (ω=0) то cos(0) =1, sin(0) = 0 и в f(x) отсутствуют косинус и синус:
F(x)=g(x)e^(rx) = ( g0x^d +g1x^(d-1)+ … gd)e^rx
Наконец, если µ =0 т.е. r=0 и ω =0, то f(x) просто многочлен: f(x) = g(x)e^(rx)= ( g0x^d +g1x^(d-1)…+gd-1 x +gd)e^(rx)
Константы f(x) =c – многочлены степени d=0 Например x^2 –x +3 – квазимногочлен степени d=2 и веса µ=0.
X^3 * e^(-2x) * sin 5x – степени d=3 и веса µ =-2 +5i.
Суть метода неопределенных коэффицентов состоит в том, что, если ЛНДУ имеет специальную правую часть, то y* можно записать в »таком же виде», как и правую часть уравнения. Зная вид y*, мы находим входящие в y* неизвестные (они же неопределенные коэффиценты)
Пример
y’’-4y+3y=2x-5
y*=Ax+B A I B – неизвестные коэффиценты
Подставляя y* в уравнение, получаем
0-4A+3(Ax+B)=2x-5 т.е 3Ax+(-4A+3B)=2x-5
Это равенство должно выполняться для всех x, поэтому 3A=2 -4A+3B=-5
A=2/3 , B= -7/3
y* =(2/3)x –(7/3) – искомое частное решение
Правило нахождения частного решения ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
Корни характеристического уравнения
Записываем частное решение y*
Подставляем y* в уравнение (1)
Приравниваем коэффициенты при соответствующих членах и получаем систему линейных уравнений
Решаем систему, находим y*