- •Понятия фкп. Выражения для х и у.
- •Основные Элементарные функции
- •Предел и непрерывность фкп
- •Дифференцируемость. Условие Коши-Римана
- •Гармонические функции. Гармонические пары.
- •Определение и св-ва аналитических функций
- •Конформность отображения посредством гармонической пары и аналитической функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
- •Линейная функция
- •Простейшая дробно-линейная функция
- •Степенная функция
- •Дробно-линейная функция
- •Интегрирование по комплексному аргументу
- •Теорема Коши. Интегральная формула Коши
- •Ряды с комплексными членами
- •Изолированные особые точки и их классификация
- •Ряд Тейлора
- •Ряд Лорана
- •Основные теоремы о вычетах
- •Скалярное поле. Определение. Линии и поверхности уровня.
- •Скалярное поле. Производная по направлению.
- •Скалярное поле. Градиент
- •Векторное поле. О. Векторные линии и векторные трубки
- •Поток векторного поля. О. Вычисление.
- •Дивергенция векторного поля. О. Выч. Теорема г-о
- •Циркуляция векторного поля. О. Вычисление
- •Ротор векторного поля. О. Выч. Теорема Стокса
- •Оператор Гамильтона. Диф-ые операции II порядка
- •Специальные виды векторных полей. Соленоидальое
- •Специальные виды векторных полей. Потенциальное
- •Специальные виды векторных полей. Лапласово (гармоническое)
- •Теорема о разложении векторных полей.
- •Применение вычетов к вычислению контурных интегралов
- •Применение тфкп
- •Определение функционального анализа. Предмет функционального анализа.
- •Определение евклидова пространства
- •Определение линейных пространств. Аксиомы. Свойства
- •Линейные операторы. Действия с лин. Операторами
- •Базис и матрица линейного оператора Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
- •Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Пример.
- •Ортогональный и ортонормированный базис
- •Понятие меры. Измеримые функции. Простые функции. Ортогональные функции
- •Мера Лебега. Свойства меры Лебега. Интеграл Лебега
- •Нормированные пространства. Норма. Примеры
- •Метрические пространства. Метрика. Примеры. Сжатые отображения
- •Ортогональный и ортонормированный базис. Процесс Ортогонализации. Сопряженные векторы в евклидовом пространстве.
- •Дифференциальные уравнения с частными производными
- •Основные уравнения математической физики
- •Явная и Неявная разностная схема
Линейные операторы. Действия с лин. Операторами
Пусть X и Y два линейных пространства. Оператор A, действующий из X в Y, называется линейным оператором, если для любых двух элементов u и v из X и любого числа α справедливо: A(u + v) = A(u ) + A(v) , A(α·u) = α· A(u). Операторы A и B, действующие из X в Y называются равными, если A(x) = B(x) для всех x из X :
A: X → Y, B: X → Y, A = B если A(x) = B(x), ∀x∈X.
Действия с лин. операторамими. Операторы A и B действуют из X в Y .Оператор C, действующий из X в Y, называется суммой операторов A и B, если C(x) = A(x) + B(x) для всех x из X :A: X → Y, B: X → Y, C = A + B если C: X → Y, и C(x) = A(x)+ B(x) , ∀x∈X.
Оператор A действует из X в Y . Оператор C, действующий из X в Y, называется произведением оператора A на число α, если C(x) = α·A(x) для всех x из X :A: X → Y, C = α·A если C: X → Y, и C(x) = α·A(x) , ∀x∈X.
Оператор A действует из X в Y, оператор B действует из Y в Z. Оператор C, действующий из X вZ, называется произведением операторов A и B, если C(x) = A(B(x) ) для всех x из X : A: X → Y, B: Y→Z, C = B·A если C: X →Z, и C(x) = B(A(x)) , ∀x∈X.
Сумма A + B линейных операторов, произведение линейного оператора на число α·A и произведениеB·Aлинейных операторов — линейные операторы.
Базис и матрица линейного оператора Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
Линейный оператор A действует из n-мерного линейного пространства X в m-мерное линейное пространство Y .В этих пространствах определены базисы e = {e1, ..., en} и f = {f1, ..., fm}. Пусть A(ei ) = a1i·f1 + a2i·f2 + ...+ ami·fm — разложение образа i-го базисного вектора базиса e пространства X по базису f пространства Y, i = 1, 2, ..., n.
Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f , A = {aij}= {A(ej )i}:
A = . Собств. значения и собств. векторы линейного оператора.
Рассмотрим линейный оператор A, действующий в линейном пространстве X: y = A(x), ∀x ∈ X, y ∈ X. Число λ называется собственным значением оператора A, если существует такой ненулевой вектор x, что справедливо равенство A(x) = λ·x. Любой ненулевой вектор x ≠0, удовлетворяющий этому уравнению,называется собственным вектором оператора A, отвечающим собственному значению λ. A(x) = λ·x, x ≠0, x ∈ X.
Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Пример.
Квадратичная форма переменных x1, x2,…, xn – функция f(x1, x2,…, xn) = = a11x12 + a12x1x2 +…+ a1nx1xn + a21x2x1 + a22x22 +…+ a2nx2xn +…+ an1xnx1 +an2xnx2+…+annxn2, aij - коэффициенты квадратичной формы.
Матрица A = называется матрицей квадратичной формы, а ее ранг - рангом квадратичной формы. Квадратичная форма наз. невырожденной, если det A 0.
Квадратичная форма называется канонической, если все aij = 0, i j, т. е.
f(x1, x2,…, xn) = = a11x12 + a22x22 +…+ annxn2
Пример 1. Найдем матрицу квадратичной формы
F = 2 x12 − 4 x1 x2 + x22 + 2 x1 x3 − x32. Решение. 1. Запишем квадратичную форму F в виде: F = 2 x12 − 2 x1 x2 − 2 x2 x1 + x22 + x1 x3 + x3 x1 − x32. 2. Матрица этой квадр-ой формы:
A =