- •Понятия фкп. Выражения для х и у.
- •Основные Элементарные функции
- •Предел и непрерывность фкп
- •Дифференцируемость. Условие Коши-Римана
- •Гармонические функции. Гармонические пары.
- •Определение и св-ва аналитических функций
- •Конформность отображения посредством гармонической пары и аналитической функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
- •Линейная функция
- •Простейшая дробно-линейная функция
- •Степенная функция
- •Дробно-линейная функция
- •Интегрирование по комплексному аргументу
- •Теорема Коши. Интегральная формула Коши
- •Ряды с комплексными членами
- •Изолированные особые точки и их классификация
- •Ряд Тейлора
- •Ряд Лорана
- •Основные теоремы о вычетах
- •Скалярное поле. Определение. Линии и поверхности уровня.
- •Скалярное поле. Производная по направлению.
- •Скалярное поле. Градиент
- •Векторное поле. О. Векторные линии и векторные трубки
- •Поток векторного поля. О. Вычисление.
- •Дивергенция векторного поля. О. Выч. Теорема г-о
- •Циркуляция векторного поля. О. Вычисление
- •Ротор векторного поля. О. Выч. Теорема Стокса
- •Оператор Гамильтона. Диф-ые операции II порядка
- •Специальные виды векторных полей. Соленоидальое
- •Специальные виды векторных полей. Потенциальное
- •Специальные виды векторных полей. Лапласово (гармоническое)
- •Теорема о разложении векторных полей.
- •Применение вычетов к вычислению контурных интегралов
- •Применение тфкп
- •Определение функционального анализа. Предмет функционального анализа.
- •Определение евклидова пространства
- •Определение линейных пространств. Аксиомы. Свойства
- •Линейные операторы. Действия с лин. Операторами
- •Базис и матрица линейного оператора Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
- •Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Пример.
- •Ортогональный и ортонормированный базис
- •Понятие меры. Измеримые функции. Простые функции. Ортогональные функции
- •Мера Лебега. Свойства меры Лебега. Интеграл Лебега
- •Нормированные пространства. Норма. Примеры
- •Метрические пространства. Метрика. Примеры. Сжатые отображения
- •Ортогональный и ортонормированный базис. Процесс Ортогонализации. Сопряженные векторы в евклидовом пространстве.
- •Дифференциальные уравнения с частными производными
- •Основные уравнения математической физики
- •Явная и Неявная разностная схема
Ортогональный и ортонормированный базис
Ортогональный (ортонормированный) базис - ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.
Конечномерный случай
Ортогональный базис — базис, где все векторы попарно ортогональны.
Ортогональный базис из единичных векторов называется ортонормированным.
Скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают ( ), и равно единице при совпадающем индексе.
Бесконечномерный случай
Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов e1,e2,...,en,... гильбертова пространства X такая, что любой элемент однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда x = ,
- ряд Фурье элемента x по системе {en}.
Если | en | = 1 - ортонормированный базис. В этом случае числа an, называются коэффициентами Фурье элемента x по ортонорм-му базису {en}, имеют вид an = (x,en).
Понятие меры. Измеримые функции. Простые функции. Ортогональные функции
Мерой множества на плоскости называется его площадь. Внешней мерой *(A) множества А называется нижняя грань меры элементарных множеств, включающих множество А. Измеримые ф-ии. Пусть X и Y - два произвольных множества и в этих множествах выбраны системы подмножеств SX и SY соответственно. Функция f:XY называется (SX,SY)-измеримой, если для любого подмножества АSY его прообраз содержится в SX : f -1(A) SX. Простые ф-ии. Функция f(x), определенная на некотором пространстве Х с заданной на нем мерой, называется простой, если она измерима и
принимает не более, чем счетное число значений.
Ортогональные ф-ии. Функции φ1(x) и φ2(x) называются ортогональными на |a,b|, если (φ1,φ2)= dx=0.
Мера Лебега. Свойства меры Лебега. Интеграл Лебега
Множество А называется измеримым по Лебегу, если для любого > 0 найдется такое элементарное множество B, что *(A B) < . Функция *, рассматриваемая только на измеримых множествах, называется лебеговой мерой .
Свойства меры Лебега. 1) мера любого множества неотрицательна: m (A)D ³ 0;
2) мера суммы A= конечной или счётной системы попарно непересекающихся множеств A1, A2..., An... равна сумме их мер: m(A)=
3) при перемещении множества как твёрдого тела его мера не меняется.
Интеграл Лебега. Интегралом Лебега по множеству А от простой функции f(x) называется сумма ряда I = yn (An) , где An = {xA | f(x) = yn}.
Нормированные пространства. Норма. Примеры
Нормированным векторным пространством называется пара , где V — векторное пространство, а — норма в V. Норма — функция, заданная на векторном пространстве и обобщающая понятие длины вектора или абсолютного значения числа.
Примеры нормированных пространств. 1. Конечномерные нормированные пространства.
Вещественная прямая является нормированным пространством, если в качестве нормы взять модуль вещественного числа.
В действительном конечномерном пространстве норму можно ввести нескольким способами. Наиболее широко известна Евклидова норма:
. Другие возможные нормы: , .
В комплексном n-мерном пространстве норму можно ввести следующим образом:
||x|| = . 2. Пространство непрерывных функций. В простр-ве непрерывных на отрезка [a,b] функций C[a,b] норму можно задать формулой ||f|| = .