- •Понятия фкп. Выражения для х и у.
- •Основные Элементарные функции
- •Предел и непрерывность фкп
- •Дифференцируемость. Условие Коши-Римана
- •Гармонические функции. Гармонические пары.
- •Определение и св-ва аналитических функций
- •Конформность отображения посредством гармонической пары и аналитической функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
- •Линейная функция
- •Простейшая дробно-линейная функция
- •Степенная функция
- •Дробно-линейная функция
- •Интегрирование по комплексному аргументу
- •Теорема Коши. Интегральная формула Коши
- •Ряды с комплексными членами
- •Изолированные особые точки и их классификация
- •Ряд Тейлора
- •Ряд Лорана
- •Основные теоремы о вычетах
- •Скалярное поле. Определение. Линии и поверхности уровня.
- •Скалярное поле. Производная по направлению.
- •Скалярное поле. Градиент
- •Векторное поле. О. Векторные линии и векторные трубки
- •Поток векторного поля. О. Вычисление.
- •Дивергенция векторного поля. О. Выч. Теорема г-о
- •Циркуляция векторного поля. О. Вычисление
- •Ротор векторного поля. О. Выч. Теорема Стокса
- •Оператор Гамильтона. Диф-ые операции II порядка
- •Специальные виды векторных полей. Соленоидальое
- •Специальные виды векторных полей. Потенциальное
- •Специальные виды векторных полей. Лапласово (гармоническое)
- •Теорема о разложении векторных полей.
- •Применение вычетов к вычислению контурных интегралов
- •Применение тфкп
- •Определение функционального анализа. Предмет функционального анализа.
- •Определение евклидова пространства
- •Определение линейных пространств. Аксиомы. Свойства
- •Линейные операторы. Действия с лин. Операторами
- •Базис и матрица линейного оператора Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
- •Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Пример.
- •Ортогональный и ортонормированный базис
- •Понятие меры. Измеримые функции. Простые функции. Ортогональные функции
- •Мера Лебега. Свойства меры Лебега. Интеграл Лебега
- •Нормированные пространства. Норма. Примеры
- •Метрические пространства. Метрика. Примеры. Сжатые отображения
- •Ортогональный и ортонормированный базис. Процесс Ортогонализации. Сопряженные векторы в евклидовом пространстве.
- •Дифференциальные уравнения с частными производными
- •Основные уравнения математической физики
- •Явная и Неявная разностная схема
Основные теоремы о вычетах
Т. (первая теорема о вычетах, или основная) Если функция f(z) аналитическая в области D, за исключением изолированных особых точек Z1,Z2,…,ZN, лежащих внутри этой области, то для любого простого замкнутого контура Г , охватывающего точки Z1,Z2,…,ZN, интеграл равен произведению (2πi) на сумму вычетов относительно особых точек f(z), лежащих внутри контура Г:
Доказательство. Z1,Z2,…,ZN – особые точки, лежащие внутри контура. Обозначим как α1 = res , α2 = res , … ,
αN = res , где - контуры – окружности вокруг этих точек, лежащие внутри Г и вне друг друга. Следовательно, по теореме Коши для сложного контура (для многосвязной области) можно записать, что
= 2πi [α1 + α2 + …+ αN] =
= = , что и требовалось доказать.
Т. (вторая теорема о вычетах) Если функция f(z) аналитическая во всей комплексной плоскости, за исключением изолированных особых точек , то сумма всех вычетов относительно особых точек f(z) равна нулю: k]=0
Скалярное поле. Определение. Линии и поверхности уровня.
О. Если в области V1 задана скалярная функция точки u (P),то говорят, что в этой области задано скалярное поле. Пример:поля температуры, атмосферного давления и т.п.
О. Если функция u (P) не зависит от времени, то скалярное поле называют стационарным. Поле, меняющееся с течением времени называется нестационарным.
О. Поверхностью уровня пространственного скалярного поля или изоповерхнотью называется геометрическое место точек, в которых функция u принимает постоянное значение: u(x,y,z)=C. Поверхности уровня могут вырождаться в линии и точки.
О. Линии, во всех точках которых плоское скалярное поле имеет одно и то же значение, называются линиями уровня или изолиниями. Линии уровня могут вырождаться в точки.
Пример линий уровня: изотерма, изохора, изобара.
Скалярное поле. Производная по направлению.
О. Производной функции u=u(P) в точке P по направлению ʎ вектора ʎ называется предел:
Производная по направлению характеризует скорость изменения в точке Р по направлению вектора . Если , то функция возрастает в направлении . Величина представляет собой мгновенную скорость изменения функции u в направлении вектора
в точке Р. Теорема. Если функция u(P) = u(x,y,z) дифференцируема то ее производная по любому направлению вектора существует и равна:
где cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы .
Направляющие косинусы находятся по формулам:
Скалярное поле. Градиент
О. Градиентом функции u=u(x,y,z) называется вектор, проекциями которого служат значения частных производных этой функции:
Градиент функции указывает направление
наибыстрейшего возрастания функции.
Т. Направление градиента функции u=u(x,y,z) в каждой точке совпадает с направлением нормали к поверхности уровня скалярного поля, проходящей через это точку. Док-во.
Выберем произвольную точку P0(x0,y0,z0). Уравнение поверхности уроввня,
проходящей через точку P0: u(x,y,z)=C, где С=u(x0,y0,z0). Ур-ие нормали
к пов-тив точке Р0:
где - координаты направляющего вектора нормали
По определению градиента вектор n есть градиент функции
u=u(x,y,z) в точке Р0 (ч.т.д.)
Формула для нахождения косинуса угла между векторами: cosφ=