13. Идентификация моделей и задачи аппроксимации. Линейная аппроксимация и линеаризация
Задача идентификации параметров модели= задача идентифик модели
рассмотр модель элементов с-мы x-воздействие, y-состояние y=f(x;а0,…,аm). элемент сист моностабильный.
Задача аппроксимации: требуется найти такие значения параметров функции таким образом, чтобы обеспечить наилучшее согласие между заданной аппроксимирующей функции и табличными данными.
Используют:
1) метод градиента (наискорейшего спуска)
2) метод Ньютона (метод параболической экстраполяции)
3) метод покоординатного спуска
Проблема:суперлинейные функции овражность функции снижается эффективн использ методов
Стохастический подход (метод случайных испытаний)
можно найти точку миним. и параметры. Если некорректные исходные данные, то сист может быть вырождена.
Линеаризация – метод идентифик модели
Лин аппроксим
Метод вложенных алгоритмов радикально решает проблему «овражности»
При интерполировании используется условие равенства значений аппроксимирующей функции и данной функции в заданных точках - узлах интерполяции. Это означает, что значения функции в узлах должны быть заданы с высокой степенью точности. На практике часто возникает задача аппроксимации таблично заданной функции, значения которой известны приближенно. В этом случае используются другие способы аппроксимации. Наиболее распространенный из них - метод наименьших квадратов.
Часто возникает необходимость найти функциональную зависимость между величинами x и y, которые получены в результате эксперимента. Вид эмпирической зависимости обычно известен, но числовые параметры неизвестны.
Ниже рассматривается решение задачи приближения таблично заданной функции по методу наименьших квадратов.
2.1 Приближения функции по методу наименьших квадратов
Пусть функция
y=f(x)
задана таблицей своих значений:
,
i=0,1,…, n.
Требуется найти многочлен фиксированной
степени m,
для которого минимально среднеквадратичное
отклонение
.
Так как многочлен
определяется своими коэффициентами,
то фактически нужно подобрать набор
коэффициентов
,
минимизирующий функцию
.
Используя необходимое
условие экстремума,
,
k=0,1,
…, m получаем
так называемую нормальную систему
метода наименьших квадратов:
.
Полученная система
есть система алгебраических уравнений
относительно неизвестных
.
Можно показать, что определитель этой
системы отличен от нуля, то есть решение
существует и единственно. Однако при
высоких степенях m система является
плохо обусловленной. Поэтому метод
наименьших квадратов применяют для
нахождения многочленов, степень которых
не выше 5.
Основное достоинство квадратичного критерия близости исходной и аппроксимирующей функции в том, что такой критерий является дифференцируемой функцией, что делает возможным использование необходимых условий минимума для определения параметров. В случае линейности аппроксимируемой функции от параметров квадратичный критерий имеет единственный экстремум, и притом, обязательно минимум.)
Запишем нормальную
систему наименьших квадратов для двух
простых случаев: m=0
и m=2.
При m=0
многочлен примет вид:
.
Для нахождения неизвестного коэффициента
имеем уравнение:
.
Получаем, что коэффициент
есть среднее арифметическое значений
функции в заданных точках.
Если же используется
многочлен второй степени
,
то нормальная система уравнений примет
вид:
Линеаризация — (от лат. linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной. Методы линеаризации имеют ограниченный характер, т. е. эквивалентность исходной нелинейной системы и её линейного приближения сохраняется лишь для ограниченных пространственных или временных масштабов системы, либо для определенных процессов, причем, если система переходит с одного режима работы на другой, то следует изменить и её линеаризированную модель. Применяя линеаризацию, можно выяснить многие качественные и особенно количественные свойства нелинейной системы.
Методы линеаризации
Метод логарифмирования-применяется к степенным функциям;
Метод обратного преобразования-для дробных функций;
Комплексный метод-для дробных и степенных функций.