4. Некоторые специальные методы моделирования случайных величин

Для моделирования случайных величин с заданным законом распределения можно использовать и другие свойства преобразований случайных чисел. Известно, например, что распределение произведения двух независимых случайных величин, одна из которых имеет релеевское распределение (1.4), а другая распределена по закону арксинуса (1.7) с параметрами (0, 1/2), т. е. с нулевым средним значением и дисперсией, равной 1/2 является нормальным [37, 50]. Это позволяет формировать нормальную случайную величину путем следующего преобразования системы двух независимых равномерно распределенных в интервале (0, 1) случайных чисел  и :

                                              (1.9)

Параметры получаемой этим способом нормальной случайной величины будут .

Для моделирования случайных величин с некоторыми законами распределения иногда удобно использовать преобразования нормально распределенных случайных чисел. Так, например, случайные величины с релеевским и показательным законами распределения (1.4) и (1.5) можно получить путем преобразования системы двух независимых нормальных случайных чисел  и  с параметрами  в виде

,                                                  (1.10)

                                                   (1.11)

соответственно. При этом для релеевского распределения (1.4) параметр  будет совпадать с параметром  исходного нормального распределения, а для показательного распределения (1.5) параметр  связан с параметром  исходного нормального распределения соотношением .

Алгоритмы (1.10) и (1.11) основаны на известных свойствах преобразований нормальных случайных величин [50]. Немного изменив эти алгоритмы, можно моделировать случайные величины с другими распространенными законами распределения, а именно, обобщая формулы (11.10) и (1.11) в виде

,                               (1.12)

где  — нормальные случайные числа с параметрами , получим алгоритмы для моделирования случайных величин с законом распределения Райса и законом распределения  с  степенями свободы соответственно:

где  — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка;  — гамма-функция.

 

25. Модель источника случайных воздействий

При компъютерном моделировании систем, испытывающих внешние воздействия, часто возникает необходимость использовать модель источника внешнего воздействия, имеющего стохастическую компоненту. Компъютерное моделирование такого рода системы будет иметь большую ценность, если статистические параметры используемой модели источника внешнего воздействия будут точно соответствовать реальной ситуации. Компъютерная реализация модели такого источника предполагает выполнение следующих этапов:

• построение модели источника случайного воздействия;

• идентификация параметров модели по заданным характеристикам реального источника;

• реализация алгоритма работы модели.

Построение модели

Будем считать, что случайное воздействие представляет собой суперпозицию элемен-тарных сигналов, каждый из которых которых описывается функцией гаусса:

, (1)

где A - амплитуда воздействия,

t_p - время, приходящееся на пик воздействия,

• - параметр, определяющий ширину пика.

Будем поллагать, что относительная ширина всех пиков одинакова. Результирующее случайное воздействие представим как сумму элементарных воздействий:

, (2)

где n - количество элементарных воздействий на интервале времени [0,T] ,

t_i - время i-того элементарного воздействия.

Идентификация модели

Предположим, что мы имеем результат экспериментального исследования реального источника случайного воздействия в виде его осциллограммы F(t) , снятой на интервале [0,T]. Используя осцилограмму определим:

• число пиков n,

• амплитуду каждого из пиков P_i ,

• интервалы времени, отделяющие данных пик от предыдущего h_i .

Кроме того, необходимо, выбрав одиночный пик, измерить его ширину d на уровне, соответствующем половине высоты пика, и, после этого, вычислить параметр a по формуле:

. (3)

Учитывая (1), высоту j-того пика F_j на осцилограмме можно представить следующим образом:

. (4)

Последнее можно рассматривать как систему уравнений для определения амплитуд элементарных воздействий A_i :

, (5)

где

.

Далее, используя полученные массивы A_i , h_i и строя соответствующие гистограммы, находим плотность распределения для элементарных амплитуд r_A(A) и плотность рас-пределения временных интервалов, разделяющих пики r_t(h) .

Реализация алгоритма работы модели

Алгоритм работы модели источника случайных воздействий включает два этапа.

Подготовительный этап состоит в получении набора элементарных амплитуд A_i и на-бора временных интервалов h_i , i = 1..M , где величина M определяется требуемой длительностью моделирования случайного воздействия T и средней величиной временного интервала, разделяющего соседние импульсы h_s:

. (6)

При этом наборы величин A_i , h_i должны соответствовать плотностям распределения r_A(A) и r_t(h) . Процедура получения набора значений случайной величины s ³ 0 с задан-ной плотностью распределения r(s) базируется на следующей теореме:

Если случайная величина x имеет равномерное распределение на [a,b], то случайная величина s , удовлетворяющая уравнению

, (7)

имеет распределение r(s) .

Допустим, что функция r(s) представлена таблицей, которая содержит r значений. В этом случае, воспользовавшись, к примеру, методом трапеций, можно получить еще одну таблицу – для функции

. (8)

Поменяв местами колонки в полученной таблице можно рассматривать ее как таблицу обратной функции s(z). Осуществим переход к непрерывному представлению этой функции предусмотрев для нее интерполяцию (например, методом кубических сплайнов). Теперь получение очередного случайного числа s сводится к получению числа с равномерным распределением xÎ[0,1] и вычислению значения s(x) на основе построенной интерполяции.

Получим наборы случайных величин A_i , h_i , i = 1..M . Вычислим массив t_i по формуле:

. (9)

Теперь значение генерируемого случайного воздействия для произвольного момента tÎ[0,T] может быть вычислено по формуле:

. (10)

тетр