19. Моделирование стационарного состояния нелинейных систем

в тетради

20. Моделирование динамики систем. Уравнения переходных процессов

тетр

Скалярное уравнение динамики системы

Уравнение динамики системы совпадает по форме записи с дифференциальным уравнением затухающих колебаний: a₀ q + a₁(dq/dt) + a₂(d²q/dt²) = U , ( 1 ) где U – скалярное динамическое воздействие на систему; a₀ , a₁ и a₂ – коэффициенты пропорциональности при производных от координаты состояния по времени t. Уравнение (1) приемлемо для описания динамики переходного процесса в общем виде. Если же в системе i форм движения, то уравнение динамики можно записать так:

( 2 )

где k – порядок производной по времени; m – наибольший порядок производной, ограничиваемый в современной физике числом 2. В уравнениях (1) и (2) присутствует абсолютное значение динамического воздействия U, а в первом слагаемом левой части записано абсолютное значение координаты состояния q. Это противоречит условию приращений, согласно которому систематизация физических величин возможна лишь при рассмотрении приращений физических величин, а не их абсолютных значений. Имеется еще два важных нюанса при рассмотрении уравнения динамики системы. Первый нюанс вытекает из того, что не существуют причин, по которым можно ограничить значение порядка производной m в уравнении динамики (2) числом 2. Второй нюанс заключается в том, что в уравнении динамики приращения динамического воздействия U и координаты состояния q являются разностями между текущими значениями приращений и их значениями в момент времени начала переходного процесса и поэтому их следует выделить нижним индексом, например, индексом "_cv" ( от английских слов current value − текущее значение). Для учета вышеприведенныз условий уравнение динамики системы следует записать для текущих значений динамического воздействия и координаты состояния ΔU_cv и Δq_cv так: a₀ Δq_cv + a₁ dq_cv /dt + a₂ d²q_cv /dt² + ... = ΔU_cv . ( 3 ) Многоточие в левой части уравнения (3) отражает условие реальности. Оно указывает на то обстоятельство, что в левой части уравнения (3) могут быть слагаемые с производными по времени третьего и последующих порядков. Правда, на практике эти слагаемые учитывают очень редко. Уравнение динамики системы часто используется для анализа такой модели движения, в которой энергетическое воздействие (а, следовательно, и динамическое воздействие) возникает скачкоообразно. Непрерывный процесс изменения координаты состояния в этом случае заменяется дискретной последовательностью квазистатических (как будто статических) равновесных процессов, длящихся в течение бесконечно малых интервалов времени dt. В реальных процессах энергетическое воздействие dW изменяется не скачками, а непрерывно, и промежуточные состояния системы не рассматриваются. Реальная система всегда находится в движении, равновесных состояний у нее практически не бывает. Неравновесные процессы подробно анализируются в монографии В.Эткина (2008). Однако результаты систематизации физических величин, построенной с учетом дискретизации непрерывных процессов, получаются такими же, как и без этого учета, так как цель процесса систематизации физических величин отличается от анализа неравновесных процессов. Зато допущение дискретизации позволяет соблюсти принцип линеаризации малых приращений, согласно которому значения коэффициентов a₀ , a₁ и a₂ в уравнении динамики (1) можно считать постоянными.