28 Численные методы восстановления функций: погрешность интерполирования (остаточный член интерполяционной формулы и оптимальный выбор узлов).
Погрешность интерполирования
Остаточный член интерполяционной формулы
Заменяя
функцию
интерполяционным
полиномом
,
мы допускаем погрешность (3.3.1):
(3.3.1)
которая называется погрешностью интерполирования или остаточным членом интерполяционной формулы.
В узлах интерполирования эта погрешность равна нулю.
Погрешность
интерполирования
определяется
следующим соотношением (3.3.2):
(3.3.2)
где
и
Отсюда следует оценка точности восстановления функции (3.3.3):
(3.3.3)
где
(3.3.4)
где
.
В
частности, если
- алгебраический многочлен степени
,
то интерполирование, проведено по любым
точкам
,
осуществляется точно.
Данная оценка справедлива как для формулы Лагранжа. Та ки для формулы Ньютона.
Оптимальный выбор узлов
Величину
,
входящую в оценку точности интерполирования,
можно минимизировать за счет выбора
узлов интерполирования.
Задача
состоит в том, чтобы подобрать узлы
,
так чтобы минимизировать величину:
Решение данной задачи определяется следующим соотношением:
(3.3.5)
и оценка (3.3.3) примет вид:
(3.3.6)
Но при этом следует помнить, что бесконечное увеличение числа узлов может и не привести к уменьшению ошибки интерполяции. Об этом более подробно можно прочесть в А.А. Самарский и др. Численные методы, 1989.
2 9 Численные методы восстановления функций: интерполяция кубическим сплайном.
30 Численные методы восстановления функций: метод наименьших квадратов.
Метод наименьших квадратов (МНК)
Если набор экспериментальных данных (узлов интерполяции) получен со значительной погрешностью, то не имеет смысла использовать интерполяцию Лагранжа полиномами или сплайнами. В этом случае необходимо провести аппроксимирующую кривую, которая не проходит через экспериментальные точки (узлы), но в то же время отражает исследуемую зависимость.
Пусть восстанавливаемая функция задана таблицей 1 на интервале .
Таблица 1
-
x
f(x)
x0
f0
…
…
xn
fn
Введем
непрерывную функцию
для
аппроксимации функции
.
Отклонение функции от в узловых точках определяется (3.5.1):
(3.5.1)
Потребуем, чтобы сумма квадратов отклонений аппроксимирующей функции от восстанавливаемой в узловых точках была минимальна (3.5.2):
(3.5.2)
Такой способ построения аппроксимирующей функции называется метод наименьших квадратов (МНК).
Наиболее распространен способ выбора функции в виде линейной комбинации (3.5.3):
(3.5.3)
- базисные функции;
;
- коэффициенты, которые определяются
из условия (3.5.2).
Условия
минимума функции
:
частные производные
по коэффициентам
должны быть равны нулю(3.5.4):
(3.5.4)
Из системы (3.5.4) определяются коэффициенты .
В матричном виде система (3.5.4) выглядит так (3.5.5):
Матрица системы (3.5.4) имеет вид (3.5.5):
, (3.5.5)
где
- скалярное
произведение базисных функций.
- скалярные
произведения элементов столбца свободных
членов.
Пример.
Восстанавливаемая функция задана таблицей:
-
x
f(x)
x0
f0
…
…
xn
fn
В
качестве аппроксимирующей функции
возьмем
.
Требуется
определить коэффициенты
.
1)
2) Найдем производные по и приравняем их к нулю:
3) Тогда решив данные уравнения, получим коэффициенты :
