2. Произвольная параметризация.

Пусть задана линия , где t- произвольный параметр. Тогда: . Будем считать что параметр t возрастает в том же направлении, что и l то есть . Найдём : .

Найдём и : , .

Так как , то имеем: .

Подставляя получим: . окончательно получаем:

1. Плоскость, прох.через точку и перпенд. , наз. нормальной. Уравнение: .

2. Плоскость, прох. через и перпенд. , называется спрямляющей. Уравнение .

3. Плоскость, прох. через и перпенд. , называется соприкасающейся. Уравнение .

8.Гладкие поверхности. Касательная плоскость . Нормаль.

Поверхность – это непрерывное отображение некоторой области на плоскости в трехмерное пр-во.

Способы задания:

векторное

- параметрич

Поверхность называется гладкой, если в каждой точке существуют , . Гладкая поверхность называется регулярной, если ни в одной точке не параллельно , то есть .

Кривые называются координатными линиями на поверхности

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Уравнение касательной плоскости имеет вид

9. Первая квадратичная форма поверхности

Первой квадратичной формой поверхности называют выражение Первая квадратичная форма является положительно определенной.

Для коэффициентов первой квадратичной формы существуют общепринятые обозначения

а сама форма записывается в виде

Длина кривой на поверхности.

2. Измерение углов между линиями.

Площадь поверхности.

Площадью назовём предел суммы (1) при , причём этот предел не должен зависеть ни от способа разбиения поверхности на участки, ни от выбора точек .

10.Криволинейные системы координат.

Координатные линии и поверхности. Параметры Ламе.

Цилиндрическая система координат.

Связь декартовых координат с цилиндрическими имеет вид Связь цилиндрических с декартовыми такова

Найдём коэффициенты Ламе: , .

В последнем выражении видно, что , то есть изменение координатной линии происходит пропорционально расстоянию от оси . .

Якобиан цилиндрической системы координат: .

2) Сферическая система координат.

Найдём коэффициенты Ламе: ,

, .

Якобиан сферической системы координат: .

11.Дифференцирование скалярного поля.

Если каждой точке M ∈ G ставится в соответствие по некоторому закону скаляр u(M), то говорят, что в области G задано скалярное поле.

Характеристики скалярного поля:

1. Поверхностями уровня скалярного поля называются множество точек , таких что , то есть множество точек с одной и той же характеристикой поля. ур-е

Пусть ~m – единичный вектор. Производной скалярного поля u(M) по направлению m в точке M₀ называется предел

Исходя из формул получ. , что