12.Дифференцирование векторного поля.

Из приведенных определений следует, что Перейдем к прямоугольной декартовой системе координат. Тогда Откуда

2. Векторные трубки.

Пусть - поверхность, содержащаяся в области . Множество векторных линий, пересекающих , образуют векторные трубки .

13)Оператор Гамильтона. Дифференцирование произведений.

14.Дифференциальные операции второго порядка над полями.

Доказательство. . а .

Тогда из (1) имеем: .

Оператор Лапласа может действовать не только на скалярные поля, но и на векторные. Согласно формуле (2): .

Найдём ротор от ротора : . (так как - константа, то её можно выносить за пределы оператора ):

Так как , то получаем: ,

что и требовалось доказать.

\

15)Поверхностный интеграл первого рода.

Рассмотрим регулярную поверхность . Вектор представим в следующем виде:

.

Пусть E,F,G - коэффициенты первой квадратичной формы данной поверхности, и пусть в каждой точке поверхности определена непрерывная функция . Обозначим данную поверхность .

Поверхностным интегралом первого рода называют:

. (1)

Физический смысл поверхностного интеграла первого рода.

Пусть на поверхности  распределена масса, плотность которой является функцией . Тогда сумма приближённо равна массе этой поверхности, а переходя к пределу получим массу поверхности, то есть:

.

С помощью поверхностного интеграла первого рода можно находить координаты центра масс, момент инерции материальных поверхностей с плотностью .

Координаты центра масс:

,

,

.

Момент инерции:

,

,

.

Свойства поверхностного интеграла первого рода следуют согласно определению (1) из свойств двойного интеграла. А также: если поверхность состоит из нескольких поверхностей , (причём ) то в этом случае:

.

16.Поверхностный интеграл второго рода. Вычисление, если поверхность задана параметрически.

17.Поверхностный интеграл второго рода. Вычисление, если поверхность задана неявно

18.Поверхностный интеграл второго рода. Вычисление, если поверхность является частью сферической или цилиндрической поверхности.

19.Теорема Стокса.

20.ТеоремаОстроградского-Гаусса.