13.3. Дифракция света на круглом отверстии

Монохроматический свет от точечного источника S падает на непро­зрачный экран с круглым отверстием. Источник расположен на оси сим­метрии отверстия на расстоянии а от экрана (рис. 13.4). При помощи принципа Гюйгенса - Френеля найдем амплитуду световых колебаний в точке Р на оси симметрии за экраном по другую сторону от источника света. Расстояние от экрана до точки Р равно b. В качестве поверхности, элементы которой будем рассматривать как источники вторичных волн, возьмем фазовую поверхность, "затягивающую" отверстие в экране. Для точечного источника такой поверхностью является сфера σ радиуса r, опирающаяся на края отверстия. Центр этой сферы находится там же, где источник. Сфера σ пересекается с осью SP в точке О на расстоянии R_o от точки Р. Очевидно, что

r + R₀ = a + b. (13.5)

Колебание dE, вызванное в точке Р вторичной волной от элемента dσ поверхности σ, расположенного около произвольной точки А, най­дем по формуле (13.1). Вследствие осевой симметрии выражение (13.1) не изменится, если элемент поверхности dσ перенести в другую точку А' поверхности σ, которая находится на том же расстоянии R от точки

Р, что и точка А. Поэтому вместо малого элемента поверхности мож­но взять узкое кольцо. При этом поверхностный интеграл (13.2) можно свести к определенному интегралу. Выберем в качестве переменной ин­тегрирования расстояние R и найдем выражение для площади dσ кольца, расстояние от внутреннего края которого до точки Р равно R, а рассто­яние до его внешнего края равно R + dR, где dR - произвольное малое приращение расстояния R.

Рис. 13.4- Дифракция света на круглом отверстии

Из элементарной геометрии известна формула для площади сфери­ческого сегмента σ = 2πrh, где h - высота сегмента, т.е. расстояние между точками В и О на рис. 13.4. При этом площадь узкого кольца будет

dσ = 2πrdh . (13.6)

Для того чтобы найти зависимость h от R, запишем теорему Пифагора для треугольников АВР и SAB:

R² = АВ² + (R₀ + h)² , r² = АВ² + (r – h)² .

Вычтем из первого равенства второе. После несложных вычислений с учетом (13.5) придем к зависимости

h = (R² - R₀)²/(2(a+b)) .

Дифференциал этой функции

dh = RdR/(a+b) .

При этом формула (13;6) принимает вид

dσ = 2πr RdR/(a+b) .

Подставив это выражение в формулу (13.1), получим следующее выра­жение для колебания dE в точке Р, вызванного вторичной волной, при­шедшей в эту точку от узкого кольца:

dE=K(θ)( 2πr E_A/(a+b)) cos(ωt - kR + a_A)dR (13.7)

Для колец не очень большого радиуса угол θ мало отличается от ну­ ля и множитель К(θ) почти постоянная величина. Поэтому в формуле (13.7) выражение перед косинусом можно также считать величиной, которая не зависит от переменной R: ,

dE = C cos(ωt - kR + a_A)dR (13.8)

где С = const. Согласно принципу суперпозиции (13.2) колебание в точке Р будет выражаться определенным интегралом

E(t) = C cos(ωt - kR + a_A)dR , (13.9)

где R_n - расстояние от точки Р до края отверстия. Интегрирование по формуле Ньютона-Лейбница приводит к следующему результату:

Е= sin(ωt - kR + a_A)

Преобразуем это выражение при помощи тригонометрической формулы

sin а- sin β = 2 sin((a-β)/2) cos ((a+β)/2) . (13.10)

Получим

E(t) = E_m cos ωt-(1/2)k (R_o + R_N) + a _A , (13.11)

где амплитуда колебания в точке Р

E_m = E_mo |sin(π (R_o + R_N)/λ)| (13.12)

E_mo = С/к.

Анализируя зависимость амплитуды колебания Е_т от рас­стояния R_n - R_o, приходим к выводу, что в том случае, когда разность R_n - Ro равна нечетному числу полуволн:

R_n - R_o = (2n+1) , (13.13)

где п = 0, 1, 2, ... - натуральное число; амплитуда колебания Е_т = 2 Е_т0, т.е. принимает наибольшее значение. Если же разность R_n - R_o равна целому числу длин волн:

R_n - R_o =λn , (13.14)

то амплитуда колебаний в точке Р равна нулю.

Разделим волновую поверхность σ, которая затягивает отверстие в экране, на зоны. Первая зона представляет собой сферический сегмент, расстояния до краев которого от точки Р равны

R ⁽¹⁾ = R_o + λ/2

Вторая зона прилегает к первой и представляет собой кольцо, расстояние до

внутреннего края которого от точки Р равно R ⁽¹⁾ а до внешнего -

R ⁽²⁾ = R_o + λ .

Следующая зона есть кольцо, расстояния до краев которого от точки Р равны R ⁽²⁾ и

R ⁽³⁾ = R_o + (3/2)λ

и т.д. Эти зоны называют зонами Френеля. Если размеры отверстия в экране таковы, что волновая поверхность σ по отношению к задан­ной точке Р состоит из нечетного числа зон Френеля, то выполняется условие (13.13) и амплитуда световых колебаний в этой точке будет наи­большей. Если же волновая поверхность σ состоит из четного числа зон Френеля, то выполняется условие (13.14) и амплитуда колебаний в точке Р принимает наименьшее значение.

Графический метод сложения колебаний

Применим теперь для определения амплитуды световых колебаний в точке Р графический метод сложения колебаний, описанный в разделе 13.2. Для этого мысленно разделим волновую поверхность σ, затягиваю­щую отверстие в экране, на узкие кольца. При помощи формулы (13.7) запишем следующее выражение для колебания dEi, возбуждаемого в точ­ке Р вторичной световой волной, пришедшей в эту точку от кольца под номером i:

dE_i = dE_m, cos(wt-kR_i + a_A), (13.15)

где i= 0, 1, 2, ..., N; N - число колец,

dE_m=K(θ)( 2πr E_A/(a+b)) dR_i (13.16)

- амплитуда колебания; R_i - расстояние от внутреннего края i-го кольца до точки Р.

Пусть расстояния R_i от краев колец до точки Р таковы, что их раз­ность для любых двух соседних колец принимает одно и то же значение, т.е. не зависит от номера кольца:

R_i - R_i-1 = dR = const

Отсюда следует, что

R_i = R₀ +idR

(13.18)

Из рис. 13.4 видно, что при увеличении радиуса кольца угол θ уве­личивается. При этом коэффициент К(θ) уменьшается. Поэтому, как следует из формул (13.16) и (13.17), амплитуда dE_mi колебания в точке Р, вызванного вторичной световой волной, пришедшей от узкого кольца, также уменьшается при увеличении его радиуса. Иначе говоря, ампли­туда dE_mi колебания, возбуждаемого вторичной волной от г-го кольца, уменьшается при увеличении его номера i.

Представим каждое гармоническое колебание dE_i вектором dA_i,. Дли­на этого вектора равна амплитуде dE_mi колебания, а угол между ним и осью абсцисс - разности фаз ∆φ_i,_о колебаний dE_i и dE₀, возбуждае­мых волнами от i-го кольца и маленького сегмента в центре О волновой поверхности σ. Из формул (13.15) и (13.18) следует, что

∆φ_i,_о = k(R_i-R₀)= k i dR (13.19)

Амплитуда А суммарного колебания

E =∑_i=1^N dE_i (13.20)

равна длине вектора А суммы векторов

A =∑_i=1^N dA_i (13.21)

Для того чтобы найти сумму векторов dA_i, следует расположить эти векторы следующим образом. Вектор dA₀ можно расположить произ­вольно. Пусть он будет направлен вдоль оси абсцисс. Вектор dA₁ рас­положим так, чтобы его начало совпало с концом вектора dA₀. Начало вектора dA₂ совместим с концом вектора dA₁ и т.д. После того как бу­дут построены таким образом все векторы dA_i, построим вектор суммы А, начало которого совпадает с началом вектора dA₀, а конец - с концом вектора dA_N. Угол между векторами dA_i и dA_i+1, равен разности фаз ∆φ колебаний с номерами i и i + 1. Из (13.19) следует, что

∆φ = к dR, т.е. каждый вектор повернут относительно предыдущего вектора на один и тот же угол. В таком случае, если бы все векторы dA_i имели одинаковую длину, они при их последовательном соединении образовали бы правиль­ный многоугольник, который в пределе при dR —>0 и N -> оо переходит

в окружность. Однако вследствие того, что длина dE_mi вектора dAi уменьшается при увеличении номера г, эти векторы при сложении обра­зуют ломаную линию, изображенную на рис. 13.5. В пределе при dR —> 0 и N —> оо эта линия превращается в спираль, которая "заканчивается" в точке С на рис. 13.6.

Рис. 13.5. Векторы, представля- Рис. 13.6. Векторы, представля­ ющие колебания, пришедшие от ющие колебания, пришедшие от первых двух зон Френеля многих зон Френеля

Векторы dA_i ,которые расположены на рис. 13.6 в точках 0, 1, 2, ... образуют с осью абсцисс углы 0, π, 2π, ... Эти векторы представляют ко­лебания, возбуждаемые вторичными волнами, которые приходят в точку Р от границ зон Френеля. Таким образом, векторы dA_i , образующие дугу между точками 0 и 1, соответствуют колебаниям, возбуждаемым вторич­ными волнами от колец, лежащих внутри первой зоны Френеля; векторы dA_i, образующие дугу между точками 1 и 2, соответствуют колебаниям, возбуждаемым волнами от колец, лежащих внутри второй зоны Френеля, и т.д.

а) б) _б) г)

Рис. 13.7. Векторы, представляющие колебания, пришедшие: а) от первой половины первой зоны Френеля, б) от второй половины первой зоны Френеля, в) от первой зоны Френеля, г) от второй зоны Френеля

Колебание, возбуждаемое в точке Р вторичными волнами от первой половины первой зоны Френеля, представлено на рис. 13.7, а вектором, который начинается в точке 0 и заканчивается в точке f. Колебание, возбуждаемое в точке Р волнами от второй половины первой зоны Фре­неля, представлено на рис. 13.7, б вектором, который начинается в точке f и заканчивается в точке 1. Колебание, возбуждаемое в точке Р волна­ми от всей первой зоны Френеля, представлено на рис. 13.7, е вектором, для которого точка 0 служит началом, а точка 1 - концом. На рис. 13.7, г изображен вектор, который начинается в точке 1 и заканчивается в точке 2. Этот вектор представляет колебание, возбуждаемое в точке Р волнами от второй зоны Френеля. Колебание, возбуждаемое в точке Р вторичными волнами от всей волновой поверхности σ представлено на рис. 13.6 вектором, который начинается в точке 0 и заканчивается в точке С. Обозначим длину этого вектора Е_то. Величина Е_то есть ам­плитуда колебания, возбуждаемого в точке Р волнами от всей волновой поверхности. Иначе говоря, такой будет амплитуда колебаний в точке Р, когда экран с отверстием просто отсутствует. Из рис. 13.7, в видно, что амплитуда Е_т1 колебания, возбуждаемого в точке Р волнами от первой зоны Френеля, равна 2Е_т0.

Положение на векторной диаграмме вектора dA_N можно найти по зна­чению угла, который он образует с осью абсцисс. Этот угол равен разно­сти фаз ∆φ_N,0 между колебаниями, возбуждаемыми в точке Р волнами, приходящими из точки О и от краев отверстия. Согласно формуле (13.19)

∆φ_N,0 = k(R_N - R₀)

Соединив точку 0 на векторной диаграмме с. концом вектора с dA_N , полу­чим вектор суммы (13.21). Длина этого вектора, выраженная в долях от величины Е_то, есть искомая амплитуда Е_т колебания в точке Р.