11.6. Интенсивность волны

Рассмотрим распространяющуюся вдоль оси у плоскую гармониче­скую электромагнитную волну, которая описывается функциями (11.32) и (11.33). По формулам (10.11) и (10.12) найдем плотность энергии элек­тромагнитного поля и вектор Умова - Пойнтинга:

S = E_mH_mj cos²(wt-k y -a). (11.34)

Nспользуя соотношение (11.30), получаем:

w = ε Е²_m cos²(w t- к у + a),

где j - единичный вектор, направленный вдоль оси у.

Отметим, что в силу соотношения (11.30) плотности энергии электри­ческого и магнитного полей равны друг другу. Направление вектора 5 плотности потока энергии, как видно из формулы (11.35), совпадает с направлением волнового вектора к, т.е. направление, в котором распро­страняется энергия электромагнитного поля, совпадает с направлением распространения волны. Плотность энергии w и вектор S зависят от времени и координат. Амплитуды колебаний этих величин

w_m = ε Е²_m , S_m= (1/2) √ε/μ Е²_m

связаны друг с другом простым соотношением

S_m = v w_m .

Формулу (11.27), которая определяет скорость v распространения электромагнитной волны, можно записать так:

v=1/ =1/

v=c/n

Здесь ε_r и μ_r - относительные диэлектрическая и магнитная проницае­мости среды, в которой движется электромагнитная волна,

c=1/

- скорость электромагнитных волн в пустоте, а величина

п = .

называется показателем преломления среды. Относительная магнитная проницаемость всех прозрачных для электромагнитных волн веществ практически равна единице: μ_r ~ 1. Поэтому

n=√ε_r (11.38)

Из формулы (11.37) следует, что скорость электромагнитных волн в сре­де в п раз меньше их скорости в пустоте.

Среднее по времени значение абсолютной величины вектора плотности потока энергии называется интенсивностью волны:

I=

где Т - период волны. Согласно этому определению, размерность и фи­зический смысл интенсивности те же, что и величины S. Подставим в формулу (11.39) выражение (11.35) для модуля вектора Умова - Пойн­тинга. После интегрирования получим

Интенсивность — плотность потока энергии (энергия в единицу времени через единицу площади).

(среднее по времени от вектора плотности потока энергии)

Связь интенсивности света с объемной плотностью энергии световой волны.

, где — фазовая скорость света, хотя казалось бы, должна быть групповая.

С учетом соотношения (11.37) будем иметь

Из этой формулы видно, что интенсивность электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуды Е_т вектора напряженности элек­трического поля и показателю преломления среды:

11.7. Отражение электромагнитной волны от границы раздела двух сред

Пусть плоская электромагнитная волна падает перпендикулярно на плоскость, разделяющую две среды с показателями преломления n₁ и п₂ (рис. 11.5). На границе раздела сред волна делится на две волны. Одна волна проходит через границу раздела из первой среды во вторую, а дру­гая отражается и движется в первой среде навстречу падающей волне. Напряженности электрического поля и волновые векторы в падающей, отраженной и прошедшей во вторую среду волн обозначим соответствен­но E₁ k₁ Е₁' к₁' и Е₂ к₂

Из уравнений Максвелла следует, что тангенциальные составляющие вектора Е напряженности электрического поля не изменяются при пе­реходе через границу раздела двух сред:

(11.41)

Направим ось х вдоль вектора Е₁. В таком случае это граничное условие принимает вид

E_Xl+ Е_Х1' = Е_Х2

(11.42)

где E_Xl, Е_Х1' и Е_Х2 - проекции на ось х векторов Е₁, Е₁', и Е₂ соответ­ственно. Сумма в левой части равенства (11.42) - напряженность элек­трического поля в первой среде. По принципу суперпозиции она равна сумме напряженностей полей падающей и отраженной волн.

n₁ Е₁, к₁' Е₁'

п₂ к₁ к₂. Е₂,

Рис. 11.5. Падение волны на границу раздела двух сред

В силу формулы (11.35) энергия, падающая за единицу времени на единицу площади, пропорциональна показателю преломления и квадрату напряженности электрического поля волны:

S~nE².

Учитывая это соотношение, запишем равенство

(11.43)

которое означает, что плотность потока энергии падающей волны равна сумме плотностей потоков энергии отраженной и прошедшей во вторую среду волн. Из уравнения (11.42) найдем, что

Е_Х1'=Е_Х2-Е_Х1. (11.44)

Исключив величину Е_Х1' из (11.43) при помощи этой формулы, придем к равенству

n₁ E_x1² = n₁(Е_х2 -E_Xl)² + n₂ E_x2² .

Отсюда следует, что напряженность Е_Х2 электрического поля в волне, прошедшей во вторую среду, связана напряженностью Е_Х1 поля в пада­ющей волне соотношением

E_x2 =(2n₁/(n₁ +n₂)) E_x1 (11.45)

Подставив (11.45) в (11.44), получим

(11.46)

Формулы (11.45) и (11.46) определяют связь между напряженностями электрического поля падающей, отраженной и прошедшей волн.

Если первая среда является оптически менее плотной, т.е. n₁ < n₂, то из формулы (11.46) следует, что проекции Е_Х1' и E_X1 имеют разные знаки. Это означает, что при отражении волны вектор напряженности электрического поля меняет направление на противоположное, т.е. век­торы Е₁' и Е₁ на границе раздела направлены в разные стороны. Так как cos (φ+ π) = - cosφ, изменение направления вектора Е можно ин­терпретировать как результат изменения фазы на π, что эквивалентно уменьшению (или увеличению) длины светового луча на величину λ/2. Поэтому это явление носит название "потеря" полволны. При п₁ > п₂ векторы Е₁' и Е₁ совпадают по направлению.

4. ^{ВОЛНОВАЯ ОПТИКА}

12. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ

12.1. Сложение волн

Теоретически и экспериментально установлено, что электромагнит­ные волны распространяются в пространстве со скоростью света. На основании этого и многих других фактов пришли к заключению, что ви­димый свет есть электромагнитные волны. В этом и следующих разделах будут рассмотрены такие оптические явления, как интерференция, ди­фракция и поляризация, в которых свет проявляет свои волновые свой­ства.

Если две или несколько волн накладываются друг на друга в какой-то области пространства, то при определенных условиях возникает явление интерференции. В одних точках пространства наблюдается усиление ко­лебаний, в других точках - их ослабление. В случае интерференции све­товых волн на экране, помещенном в области их наложения, возникает так называемая интерференционная картина, т.е. на экране наблюдает­ся чередование темных и светлых пятен или полос.

Электромагнитную волну можно рассматривать как совокупость со­гласованных колебаний векторов напряженности электрического и маг­нитного полей в различных точках пространства. Пусть в некоторой области пространства распространяются две гармонические электромаг­нитные волны одной и той же частоты и. Эти волны можно описать по­средством зависимостей напряженностей электрических полей этих волн от времени и координат:

= E₂(t,r).

Согласно принципу суперпозиции напряженность электрического поля в

Произвольной точке Р пространства равна сумме напряженности полей,

создаваемых различными источниками электромагнитного излучения:

E = E₁ + E₂ . (12.2)

Предположим, что векторы E₁ и Е₂ в точке Р направлены вдоль одной прямой.

Тогда их проекции на эту прямую можно записать так:

E₁= A₁ cos(wt + φ₁), Е₂= A₂ cos(wt + φ₂), (12.3)

где A₁ и А₂ - амплитуды гармонических колебаний, создаваемых рассма­триваемыми гармоническими волнами в точке Р; φ₁ и φ₂ - начальные фазы этих колебаний.

Как известно из теории гармонических колебаний, сумма

E(t) = E₁(t) + E₂(t) (12.4)

двух гармонических колебаний также будет гармоническим колебанием

Е= A cos(wt + φ_o) (12.5)

той же частоты ω, амплитуда А которого связана с амплитудами А₁ и А₂ суммируемых колебаний соотношением

(12.6)

Так как интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, соотношение (12.6) можно переписать в виде

(12.7)

где I- интенсивность света в точке Р, I₁ и I₂ интенсивности каждой из волн в отдельности.

Как следует из формулы (12.7), результирующая интенсивность I в об­щем случае не равна сумме I₁ + I₂ интенсивностей складываемых волн. Она может быть как больше, так и меньше ее в зависимости от послед­него слагаемого в выражении (12.7), называемого интерференционным членом. Интерференционный член зависит от разности фаз φ₂ - φ₁. В тех точках пространства, для которых

φ₂ - φ₁ =2πm , (12.8)

где m = 0, ±1, ±2,...; колебания будут усиливать друг друга. В этих точках

cos (φ₂ - φ₁ ) = 1

и, как следует из формул (12.6) и (12.7), амплитуда А и интенсивность I принимают наибольшие значения:

А_тах=А₁+А₂, I_max = (√I₁ +√ I₂)² (12.9)

В точках, для которых

φ₂ - φ₁ =(2m+1)π , (12.10)

где m = 0, ±1, ±2,...;

cos (φ₂ - φ₁ ) = - 1.

При этом формулы (12.6) и (12.7) дают наименьшие значения амплитуды

и интенсивности:

А_тin=|А₁-А₂|, I_min = (√I₁ -√ I₂)²