- •1. Световые волны в прозрачной изотропной среде.
- •Частные решения волнового уравнения.
- •Параметры плоской волны.
- •Фазовая скорость.
- •Групповая скорость.
- •Поперечность световых волн.
- •11.2. Гармоническая волна
- •11.3. Волны в пространстве
- •11.4. Плоские электромагнитные волны *
- •11.5. Плоская гармоническая электромагнитная волна
- •Плоские электромагнитные волны Понятие электромагнитной волны.
- •Поперечный характер электромагнитных волн.
- •Фазовая и групповая скорости электромагнитной волны.
- •11.6. Интенсивность волны
- •11.7. Отражение электромагнитной волны от границы раздела двух сред
- •Понятие интерференции электромагнитных волн
- •Интерференция света
- •12.2. Когерентность
- •12.3. Интерференция света от двух точечных источников
- •12.4. Интерференция света в тонких пленках
- •13 * Дифракция
- •13.1. Принцип Гюйгенса — Френеля
- •13.3. Дифракция света на круглом отверстии
- •13.4. Дифракция света на щели
- •13.5. Дифракционная решетка
- •14. Поляризация света
- •14.1. Поляризация электромагнитной волны
- •14.2. Естественный и поляризованный свет
- •14.3. Поляризация света при отражении и преломлении
- •14.4. Поляризация света при двойном лучепреломлении
- •14.6. Интерференция поляризованных лучей
- •15. * Взаимодействие света с веществом
- •15.1. Дисперсия света
- •15.2. Электронная теория дисперсии
- •15.3. Групповая скорость волны
- •3.1. Возникновение волны. Группа волн
- •15.4. Поглощение света
- •Краткое математическое содержание волновой оптики
- •1. Световые волны в прозрачной изотропной среде.
- •Тема 2. Поляризация света.
- •Тема 3. Излучение и поглощение света.
- •Тема 4. Отражение и преломление света.
- •Тема 5. Кристаллооптика.
- •Тема 6. Геометрическая оптика.
- •Тема 7. Спектр света.
- •Тема 8. Интерференция.
- •Тема 9. Дифракция.
- •Тема 10. Дифракционная решетка.
- •Тема 11. Голография.
- •Тема 12. Дифракционный предел разрешения.
- •Тема 13. Взаимодействие света с веществом.
- •Тема 14. Термодинамика излучения.
13.4. Дифракция света на щели
Пусть на непрозрачный плоский экран, в котором вырезана длинная узкая щель, падает нормально плоская гармоническая волна
Е=Е0 cos(ωt + kz + a0). (13.22)
За экраном помещена собирающая линза, в фокальной плоскости кото рой расположен экран для наблюдения дифракционной картины (рис. 13.8). В каждой точке Р на экране собираются вместе и интерферируют идущие от щели параллельные лучи вторичных волн. На рис. 13.8 по казаны такие лучи, образующие угол θ с нормалью к плоскости щели. Для определения амплитуды суммарного колебания в точке Р применим принцип Гюйгенса - Френеля и принцип суперпозиции. С этой целью за- тянем щель плоской поверхностью σ. Эта плоскость удобна тем, что она совпадает с фазовой плоскостью падающей волны. В качестве элеменTов dσ поверхности, являющихся источниками вторичных волн, выберем узкие полоски, "вырезанные" из поверхности σ вдоль щели. Одна из таких полосок показана на рис. 13.8. Расстояние до края О1 щели до этой полоски обозначим х. При этом ее ширина будет равна dx. Колебание, возбуждаемое в точке Р вторичной волной, пришедшей от этой полоски, имеет вид: dE = dEm cos(wt-k*AP + ao), (13.23)
где амплитуда dEm согласно принципу Гюйгенса - Френеля пропорциоnальна ширине полоски:
dEm = С dx , (13.24)
здесь С - коэффициент пропорциональности
Линза обладает свойством таухронизма, которое выражается в том, что оптические длины О1Р и ВР двух лучей равны. Такие лучи называются таухронными. Это название означает, что свет преодолевает расстояния О1Р и ВР за одинаковое время. С учетом этого свойства для оптической длины луча АР, идущего от полоски da, можно записать следующее выражение
AP = O1P+ x sin θ (13.25)
Рис. 13.8. К описанию дифракции Фраунгофера на щели
Подставим выражения (13.24) и (13.25) в формулу (13.23). Следуя принципу суперпозиции, найдем колебание в точке Р, возбуждаемое вторичными волнами, идущими от всех элементов поверхности σ:
E(t) = C cos(ωt - k x sin θ + aA)dx,
где a = a0 – k* O1P, a - ширина щели. Вычислим этот интеграл по
268
формуле Ньютона - Лейбница:
Е= ( sin(ωt + aA) - sin(ω t - k a sin θ+a)).
Преобразуем это выражение при помощи тригонометрической формулы (13.10). Получим:
Е = Ет cos (ω t – (1/2)k a sin θ+a)). (13.26)
где амплитуда колебаний
Em = Emo (13.27)
Ето = С а. Согласно этим формулам, в точке О, лежащей против середины щели и соответствующей θ = 0, колебания вектора Е происходят по закону
Е = Ето cos(ωt +а). (13.28)
При выводе этой формулы учтено, что при малых значениях аргумента х можно положить sin х ~ х. График зависимости амплитуды Ет от sin θ представлен на рис. 13.9.
-2λ/a -λ/a 0 λ/a 2λ/a sinθ
Рис. 13.9. Дифракция Фраунгофера на щели. График зависимости амплидуды Ет от sin θ
Амплитуда (13.27) обращается в ноль при θ /= 0, если
sin((1/2) k a sin θ)=0
Отсюда следует, что
sin θ =2πm/(ka) (13.29)
где т — ±1, ±2,...
Формулу (13.27) для амплитуды светового колебания в произвольной точке Р на дифракционной картине можно получить посредством описанного в разделе 13.2 графического метода. Для этого фазовую плоскость, затягивающую щель, разобьем на узкие полоски одинаковой ширины dx. Пусть i = 1,2,..., N - номер полоски. Колебание в точке Р, возбуждаемое волной, пришедшей от произвольной полоски, будет описываться формулой (13.23). Каждое колебание следует представить
вектором dAi, длина которого равна амплитуде dEm колебания, а угол между этим вектором и некоторым произвольным направлением (осью х) - начальной фазе колебания. Так как все полоски имеют одну и ту же ширину dx, амплитуды колебаний в точке Р, создаваемых вторичными волнами от различных полосок, будут одинаковы. Разность фаз между колебаниями от соседних полосок равна
∆φ = к dx sin θ
и не зависит от номера i полоски. Таким образом, векторы dAi, представляющие колебания от различных полосок, будут иметь одну и ту же длину dEm, и каждый вектор будет повернут относительно предыдущего на один и тот же угол ∆φ. При этом, если начало каждого вектора
Рис. 13.10. Векторная диаграмма
dAi поместить в конец предыдущего вектора dAi-1 , то они образуют ломаную линию, которая в пределе при dx —> 0 переходит в дугу окружности (рис. 13.10). Сумма векторов dAi есть вектор А, начало которого совпадает с началом первого вектора dA1 , а конец - с концом последнего dAN. Как видно из рис. 13.10, длина вектора А равна длине хорды, стягивающей дугу окружности из слагаемых векторов dAi.
Разность фаз ∆φ между колебаниями в точке Р от вторичных волн, приходящих от краев щели О1 и O2, определяется разностью длин лучей
270
О1P и O2P (рис. 13.8):
∆φ = k a sin θ . (13.30)
При этом угол между векторами dA1 и dAN, представляющими эти колебания, будет равен ∆φ.
В точке О на экране собираются лучи, идущие под углом θ = 0. Все колебания в этой точке имеют одну и ту же фазу (∆φ = 0). Поэтому все
векторы dAi имеют одно и то же направление, а модуль их суммы будет равен сумме модулей этих векторов (рис. 13.11):
= =N dEm= Ето
Рис. 13.11. Векторная диаграмма при θ = 0
Так как амплитуды dEm колебаний практически не зависят от угла θ, длина дуги окружности на рис. 13.10, т.е. сумма
для всех точек Р равна Ето. Используя геометрические построения на рис. 13.10, найдем длину хорды:
|A|= Ет =2r sin(∆φ/2)
где r - радиус окружности, который связан с длиной дуги Ето, соотношением
Ето =r∆φ.
Исключив из этих соотношений величину r, придем к формуле
Ет = Ето | sin(∆φ/2)/(∆φ/2) (13.31)
которая после подстановки в нее выражения (13.30) принимает вид (13.27). Учитывая, что интенсивность I ~ Еm 2, нетрудно найти ее зависимость от θ