Изменение координат вектора при линейном отображении V(n) в V(m)

Пусть аV⁽ⁿ⁾,   линейный оператор V⁽ⁿ⁾ V^(m), А  матрица линейного оператора , (е)  базис пространства V⁽ⁿ⁾, () базис пространства V^(m) и вектор а имеет в базисе (е) координаты (₁,₂,...,_n). Найдем координаты вектора (а) в базисе (). Итак, по условию,

а=₁e₁  ₂e₂  _ne_n=(₁,₂_n) тогда

(а)=₁e₁₂e₂_ne_n=₁(e₁₂(e₂_n(e_n=

=(₁,₂_n) ,

(а)=(₁,₂_n)  (e=((₁,₂_n)A)

Изменение матрицы линейного оператора при переходе от базиса (e) к (е’) в пространстве V(n) и от базиса (f) к базису (f ’) в пространстве V(m)

Пусть А  матрица линейного оператора  при выбранных базисах (е) в V⁽ⁿ⁾ и (f) в V^(m), то есть е. В пространстве V⁽ⁿ⁾ от базиса (е) переходим к базису (е’) с помощью матрицы Т порядка n (е’ е). В пространстве V^(m) от базиса (f) переходим к базису (f ’) с помощью матрицы S порядка m (f ’S f). Найдем матрицу линейного оператора  при выбранных базисах (е’) в пространстве V⁽ⁿ⁾ и (f ’) в пространстве V^(m). Обозначим искомую матрицу Х и найдем ее из условия

(е’)=Х f’ (е) = Х(SeS

и, так как (е), то S ()S и, так как   базис, то S =S^-1.

Замечание. Когда   линейный оператор, отображающий V⁽ⁿ⁾ в V⁽ⁿ⁾, то изменение матрицы линейного оператора при переходе от (е) к базису (е’) выражается формулой =Т^-1.

Определение. Квадратные матрицы А и В порядка n называются подобными, если существует квадратная невырожденная матрица Q порядка n такая, что В=QAQ^-1.

Легко заметить, если матрица А подобна матрице В, то и матрица В подобна матрице А. Действительно, если В=QAQ^-1, то A=Q^-1 В(Q^-1)^-1 .

То есть будем говорить о паре подобных матриц.

Замечание. Если   линейный оператор, отображающий V⁽ⁿ⁾ в V⁽ⁿ⁾, то матрицы линейного оператора в разных базисах подобны между собой.

Ранг и дефект линейного оператора

Пусть   линейный оператор, отображающий V⁽ⁿ⁾ в V^(m), L  подпространство линейного пространства V⁽ⁿ⁾.

Определение. Множество L(х)xL  (x) V^(m) будем называть образом линейного подпространства L.

Теорема. Образ линейного подпространства L линейного пространства V⁽ⁿ⁾ есть линейное подпространство линейного пространства V^(m).

Доказательство

По определению, LV^(m), поэтому для доказательства достаточно применить теорему о линейном подпространстве, то есть показать, что выполняются условия:

(x), (y)L( (x)+ (y) L),

 (x)L((x))L).

Если (x), (y)L, то x,yL, следовательно, x+yL, тогда, по определению образа линейного подпространства, имеем (x+ y) =(x)+ (y) L.

Аналогично, если (x)L, то xL. Пусть , тогда xL и, по определению образа линейного подпространства, имеем (x) = (x)L.

Оба условия выполнены, следовательно, L есть линейное подпространство линейного пространства V^(m).

Замечание. Линейное пространство V⁽ⁿ⁾ является своим подпространством, и по доказанной теореме, множество V⁽ⁿ⁾ есть линейное подпространство линейного пространства V^(m). Это подпространство будем называть образом линейного пространства V⁽ⁿ⁾.

Теорема. Размерность линейного пространства V⁽ⁿ⁾ равна рангу матрицы линейного оператора.

Доказательство

Пусть   линейный оператор, отображающий V⁽ⁿ⁾ в V^(m), А  матрица линейного оператора  при выбранных базисах (е) в V⁽ⁿ⁾ и (f) в V^(m), то есть (е). Очевидно, что аV⁽ⁿ⁾(а=₁е₁₂е₂_ne_n). Найдем образ этого вектора при линейном отображении :

(а)= (₁е₁₂е₂_ne_n) = ₁(e₁  ₂(e₂  _n(e_n, то есть любой вектор линейного пространства V⁽ⁿ⁾ является линейной комбинацией векторов (e₁), (e₂),, (e_n), следовательно, линейное пространство V⁽ⁿ⁾ есть линейная оболочка системы векторов (e₁), (e₂),, (e_n). Чтобы найти базис линейного пространства V⁽ⁿ⁾, достаточно из системы векторов (e₁), (e₂),, (e_n) выделить максимальную линейно независимую подсистему. Используем равенство (е), которое перепишем в виде

.

Считаем, что ранг А равен r . Из этого соотношения видно, что максимальное число линейно независимых векторов в системе (e₁), (e₂),, (e_n), равно rang A= r. Это число и будет размерность пространства V⁽ⁿ⁾.

Определение. Размерность пространства V⁽ⁿ⁾ называется рангом линейного оператора .

Проверим, будет ли данное определение корректно, то есть, не изменится ли ранг линейного оператора, если в пространстве V⁽ⁿ⁾ от базиса (е) перейти к базису (е’), а в пространстве V^(m) от базиса (f) перейти к базису (f’). Имеет место теорема.

Теорема. Если С=АВ, причем В  квадратная невырожденная матрица, то rang A= rang C (результат имеет место и для левостороннего умножения).

(Доказательство  в качестве упражнения.)

Так как матрицы линейного оператора в разных базисах связаны соотношением X=TAS^-1, где T и S^-1  невырожденные квадратные матрицы, тогда rang A=rang X, следовательно, ранг матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса, и определение ранга образа линейного оператора корректно.

Определение. Множество N=xxV⁽ⁿ⁾(x)=0 называется ядром линейного оператора.

Теорема. Ядро линейного оператора является линейным подпространством линейного пространства V⁽ⁿ⁾.

Доказательство

По определению ядра, NV⁽ⁿ⁾, следовательно, достаточно проверить, что верны два условия:

1. x,y N (x+y N),

2. x Nx N.

Проверим условия:

1) пусть x,yN (x)=0(y)=0x+y(x)(y)=0+0=0  x+yN,

2) пусть xN (x)=0и пусть , тогда (x)=х)=0=0xN.

Оба условия выполнены, следовательно, по теореме о линейном подпространстве, N линейное подпространство линейного пространства V⁽ⁿ⁾.

Определение. Размерность ядра линейного оператора называется дефектом линейного оператора. Обозначается rang N=d

Теорема (о ранге и дефекте линейного оператора). Пусть   линейный оператор, отображающий V⁽ⁿ⁾ в V^(m). Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности линейного пространства V⁽ⁿ⁾ (n=d+r).

Доказательство

1. Построим вспомогательное линейное подпространство L_b линейного пространства V⁽ⁿ⁾, имеющее размерность r (где r  ранг линейного оператора) V⁽ⁿ⁾,   линейное подпространство пространства V^(m), и размерность этого подпространства равна r, значит, в V⁽ⁿ⁾ существует базис, содержащий r векторов: g₁, g₂, ..., g_r. Для векторов этого базиса существует система векторов прообразов в пространстве V⁽ⁿ⁾. Пусть это будут векторы: b₁, b₂, ..., b_r, а так как это прообразы векторов g₁, g₂, ..., g_r, то значит:

(b₁)=g₁, (b₂)=g₂, ..., (b_r)=g_r.

Докажем, что система векторов b₁, b₂, ..., b_r является линейно независимой системой. Действительно, рассмотрим равенство

₁b₁+₂b₂ + ...+ _rb_r=0 и найдем образ линейной комбинации

(₁b₁+₂b₂ + ...+ _rb_r) =(0),

₁ (b₁)+₂(b₂)+ ...+ _r (b_r)=0,

₁ g₁+₂ g₂+ ...+ _r g_r=0.

Так как g₁, g₂, ..., g_r  базис, то это равенство возможно лишь в том случае, когда все коэффициенты равны 0. Это доказывает, что система векторов b₁, b₂, ..., b_r является линейно независимой системой в пространстве V⁽ⁿ⁾.

Рассмотрим множество

L_b=bb=₁b₁+₂b₂+ ... +_rb_r. Понятно, что L_bV⁽ⁿ⁾. На множестве L_b рассматриваем операции сложения и умножения на число, как операции,

индуцированные операциями, введенными в пространстве V⁽ⁿ⁾. Тогда легко видеть, что L_b  линейное подпространство пространства V⁽ⁿ⁾. По построению любой вектор пространства L_b  линейная комбинация системы векторов b₁, b₂, ..., b_r, а так как эта система линейно независима, то она образует базис L_b, следовательно, пространство L_b имеет размерность r.

2. Рассмотрим пересечение множеств L_b и N.

Пусть x L_b  N  x L_b  x N. Так как x L_b, то его можно разложить по векторам базиса b₁, b₂, ..., b_r, то есть

х = ₁ b₁+₂ b₂+...+_r b_r. Найдем образ этого вектора

(х)=(₁ b₁+₂ b₂+...+_r b_r) = ₁(b₁)+₂(b₂)+...+_r(b_r)=₁ g₁+₂ g₂+...+_r g_r.

Так как x N, то (х)=0  ₁ g₁+₂ g₂+...+_r g_r=0 , а так как g₁, g₂, ..., g_r  базис, то это равенство возможно лишь в том случае, когда все коэффициенты равны 0, то есть ₁ =₂ =...=_r =0, следовательно,

L_b  N=0.

3. Покажем, что a V⁽ⁿ⁾b L_b((a)=(b)). Действительно, рассмотрим образ вектора а

(a) = ₁g₁ + ₂g₂ +... +_rg_r = ₁(b₁) + ₂(b₂) +... + _r(b_r) =(₁b₁ + ₂b₂ +... + _rb_r) =(b), где вектор b=₁b₁ + ₂b₂ +... + _rb_r L_b.

4. Докажем теперь, что V⁽ⁿ⁾= L_b+ N. Любой вектор аV⁽ⁿ⁾ можно представить в виде a=b+(a-b), где вектор b L_b, такой, что (a)=(b), тогда

(a)=(b)+(a-b)  (a-b)=0 (a-b) N. Итак, мы доказали, что любой вектор линейного пространства V⁽ⁿ⁾ представляется в виде суммы двух векторов, один из которых принадлежит линейному подпространству L_b, второй  линейному подпространству N, следовательно, V⁽ⁿ⁾= L_b+ N.

По теореме о размерности суммы линейных подпространств, учитывая, что L_b  N=0, получим dimV⁽ⁿ⁾= dim L_b + dim N n=r+d.