§ 2. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов

Определение. Пусть   линейный оператор, отображающий V⁽ⁿ⁾V⁽ⁿ⁾.

Ненулевой вектор bV⁽ⁿ⁾ называется собственным вектором линейного оператора , если существует ₀ такое, что

(b)=₀b (1)

₀ называется собственным значением линейного оператора .

Если А  матрица линейного оператора, тогда определитель , где Е  единичная матрица, называется характеристическим многочленом линейного оператора . Корни характеристического многочлена называются характеристическими числами линейного оператора . Множество корней характеристического многочлена называется спектром линейного оператора .

Если все корни характеристического многочлена действительные и различные, то спектр называется простым.

Подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен.

Предложение. Спектр линейного оператора не зависит от выбора базиса, в котором задана матрица линейного оператора.

Доказательство

Пусть А  матрица линейного оператора  в некотором базисе (е), В  матрица того же линейного оператора  в базисе (f). ранее было доказано, что матрицы А и В подобны, то есть

Q (B=QAQ^-1), тогда

B-E=QAQ^-1-E=QAQ^-1-QQ^-1=(QA-Q)Q^-1=Q(A-E)Q^-1=

=Q(A-E)Q^-1=QQ^-1(A-E)=1A-E=A-E.

Теорема. Характеристические числа и только они являются собственными значениями линейного оператора.

Доказательство

Пусть   линейный оператор V⁽ⁿ⁾  V⁽ⁿ⁾ и А  матрица линейного оператора . Пусть b  собственный вектор линейного оператора . По определению собственного оператора, имеем

(b)=₀b, (1)

где ₀  собственное значение. Пусть (₁, ₂, ..., _n)  координатная строка вектора b в некотором базисе (в том же базисе, в котором задана матрица А). Тогда, по доказанному ранее,

(b)= (₁, ₂, ..., _n)А,

а учитывая соотношение (1), получаем

(₁, ₂, ..., _n)А= (₀₁, ₀₂, ..., ₀_n). (2)

Используя условие равенства матриц, получаем

₁₁₁ + ₂₁₂ + ... + _n1_n = ₀₁

₁₂₁+ ₂₂₂ + ... + _n2_n = ₀₂ (3)

..................................................

_1n₁+ _2n₂+ ...+ _nn_n = ₀_n

или после преобразований

(₁₁ -₀ )₁ + ₂₁₂+ ... + _n1_n = 0

₁₂ ₁+ (₂₂ -₀ )₂+ ... +_n_n2 = 0 (4)

..................................................

_1n ₁+ _2n ₂+ ...+ (_nn - ₀ )_n=0

Получили систему линейных однородных уравнений относительно координат вектора b. Так как вектор b  собственный, то система линейных однородных уравнений (4) имеет ненулевое решение, следовательно, определитель системы равен 0. То есть

(5)

транспонировав определитель, получим, что ₀ является корнем многочлена

₀=0 (6)

Учитывая, что, по определению, собственное значение  действительное число, мы получили, что собственное значение  действительный корень многочлена (6).

Покажем теперь обратное, что всякий действительный корень многочлена (6) есть собственное значение линейного оператора .

Пусть ₀ является корнем характеристического многочлена (6), то есть

₀=0. (6’)

Транспонируем определитель₀, тогда от соотношения (6’) перейдем к соотношению (5). Рассмотрим систему линейных однородных уравнений

(₁₁ -₀ )х₁ + ₂₁х₂ + ... +_n1 х_n= 0

₁₂ x₁+ (₂₂ -₀ ) х₂ + ... +_n2 х_n = 0 (4’)

.................................................. .

_1n x₁ + _2n х₂ + ...+ (_nn - ₀ )x_n=0

Из равенства (5) видно, что определитель системы линейных однородных уравнений (4’) равен 0, то система имеет не только нулевое решение. Таким образом, существуют такие действительные числа ₁, ₂, ..., _n, среди которых найдутся отличные от нуля, для которых истинны тождества (4). Последние можно переписать в форме (3), от соотношения (3) переходим к соотношению (2) и затем к соотношению (1), откуда следует, что ₀  собственное значение, а b  собственный вектор линейного оператора .