- •Глава IV. Линейные операторы в линейных пространствах § 1. Понятие линейного оператора. Матрица линейного оператора
- •4. Построим отображение : V V следующим образом:
- •Изменение координат вектора при линейном отображении V(n) в V(m)
- •Изменение матрицы линейного оператора при переходе от базиса (e) к (е’) в пространстве V(n) и от базиса (f) к базису (f ’) в пространстве V(m)
- •Ранг и дефект линейного оператора
- •§ 2. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов
- •Линейные операторы с простым спектром
- •Алгебра линейных операторов
Алгебра линейных операторов
Рассмотрим линейное пространство V(n) и множество М= множество всех линейных операторов, отображающих V(n) V(n). Введем на этом множестве две бинарные алгебраические операции сложения и умножения линейных операторов и унарную алгебраическую операцию умножения линейного оператора на действительное число.
Определение. Под суммой линейных операторов + будем понимать такой линейный оператор, что
a V(n)( (+)(a)= (a)+(a)).
Определение. Под произведением линейных операторов будем понимать такой линейный оператор, что
a V(n)( ()(a)= ((a))).
Определение. Под произведением линейного оператора на действительное число будем понимать такой линейный оператор, что
a V(n)( ()(a)=(a)).
Теорема 1.Сумма линейных операторов есть линейный оператор.
Доказательство
Из определения следует, что сумма линейных операторов – отображение пространства в себя. Проверим условия линейности. Пусть a, bV(n), тогда
(+)(a+b) = (a+b)+(a+b) = ((a)+(b))+((a)+(b)) = ((a)+(a))+((b)+ +(b)) =(+)(a) +(+)(b). Пусть aV(n), тогда
(+)(a)=(a)+(a)=(a)+(a)=((a)+(a))=(+)(a),
то есть оба условия линейности выполняются. Теорема доказана.
Теорема 2. произведение линейных операторов есть линейный оператор.
Доказательство
Из определения следует, что произведение линейных операторов – отображение пространства в себя. Проверим условия линейности. Пусть a, bV(n), тогда
()(a+b)=((a+b))=((a)+(b))=((a))+((b))=()(a)+()(b). Пусть aV(n), тогда
()(a)= ((a))= ((a))=((a))=()(a),
то есть оба условия линейности выполняются. Теорема доказана.
Теорема 3. произведение линейного оператора на действительное число есть линейный оператор.
Доказательство
Из определения следует, что произведение линейного оператора на действительное число – отображение пространства в себя. Проверим условия линейности. Пусть a, bV(n), тогда
()(a+b)=((a+b))=((a)+(b))=((a))+((b))=()(a)+()(b).
Пусть aV(n), тогда
()(a)=((a))=((a))=()((a))=()((a))= ( ((a)))=()(a),
то есть оба условия линейности выполняются. Теорема доказана.
Определение. Алгебру М с заданными на ней операциями сложения, умножения и умножения на действительное число будем называть линейной алгеброй линейных операторов.