41 Вопрос Обратная функция

Если поменять ролями аргумент и функцию, то x станет функцией от y. В этом случае говорят о новой функции, называемой обратной функцией. Предположим, мы имеем функцию:

v = u ² ,

где u - аргумент, a v - функция. Если поменять их ролями, то мы получим u как функцию v :

Если обозначить аргумент в обеих функциях через x , а функцию – через y, то мы имеем две функции:

каждая из которых является обратной по отношению к другой.

П р и м е р ы . Эти функции являются обратными друг к другу:

1) sin x и Arcsin x, так как, если y = sin x, то x = Arcsin y;

2) cos x и Arccos x, так как, если y = cos x, то x = Arccos y;

3) tan x и Arctan x, так как, если y = tan x, то x = Arctan y;

4) e^x и ln x, так как, если y = e^x , то x = ln y.

42 Вопрос Сложная функция

Рассмотрим функцию:

y = sin ² ( 2x ) .

Фактически эта запись означает следующую цепочку функциональных преобразований:

u = 2x --> v = sin u --> y = v ² ,

что может быть записано в общем виде с помощью символов функциональных зависимостей:

u = f ₁ ( x ) --> v = f ₂ ( u ) --> y = f ₃ ( v ) ,

или короче:

y = f { v [ u ( x ) ] }.

Мы имеем здесь не одно правило соответствия для преобразования x в y, а три последовательных правила соответствия ( т.е. функции ), используя которые мы получаем y как функцию от x. В этом случае мы говорим, что y – сложная функция от x.

43 Вопрос Элементарные функции

Из основных функции новые функции могут быть получены двумя способами при помощи: а) алгебраических действий; б) операции образования сложной функции.

Определение. Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

Пример.

1) - элементарная функция, т.к число операций сложения, вычитания0 умножения, деления и образования сложной функции конечно.