26 Вопрос Скалярное произведение векторов и свойства

Скалярным произведением векторов и называется произведение их длин на косинус угла между ними:

Совершенно аналогично, как в планиметрии, доказываются следующие утверждения:

• Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

• Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение его самого на себя, равно квадрату его длины.

• Скалярное произведение двух векторов и заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле

Перечислим основные свойства скалярного произведения, которые также доказываются аналогично планиметрическим.

Для любых векторов   и и любого числа λ справедливы равенства:

1. причем

2. (переместительный закон).

3. (распределительный закон).

4. (сочетательный закон).

27 Вопрос Векторное произведение векторов и их свойства

Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:

1. Перпендикулярен векторам и .

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, образованного на

векторах и

.

, где

3. Векторы , и образуют правую тройку векторов.

Свойства:

1.

2.

3.

4.

28 Вопрос Смешанное произведение векторов и их свойства

Смешанное произведение записывают в виде: .

Смысл смешенного произведения: сначала два вектора векторно перемножают, а затем полученный скалярно перемножают с третьим вектором. Смешанное произведение представляет собой число – число. Результат смешанного произведения – объем параллелепипеда, образованного векторами.

Свойства.

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке

сомножителей:

2. Смешанное произведение не изменится при перемене местами векторного и

скалярного произведения.

3. Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух

векторов-сомножителей.

4. Смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю тогда и

только тогда, когда они компланарны.

Три вектора называются компланарными, если результат смешанного произведения

равен нулю.

29 Вопрос Общее уравнение плоскости

30 Вопрос

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости --- это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если плоскость задана уравнением , то расстояние от точки до этой плоскости можно вычислить по формуле

31 Вопрос Угол между плоскостями

Р ассмотрим две плоскости α₁ и α₂, заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α₁ и α₂ равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x+2y-3z+4=0 и 2x+3y+z+8=0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α₁ и α₂ параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .