25 Вопрос Векторы в пространстве

Вектор - это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А — начало вектора, а В - его конец, то вектор обозначается символом АВ или а. Вектор ВА (у него начало в точке В, а конец в точке A) называется противоположным вектору АВ. Вектор, противоположный вектору а, обозначается - а .

Длиной или модулем вектора АВ называется длина отрезка и обозначается |АВ|. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается 0 . Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через e . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a , называется ортом вектора a и обо значается a °.

Векторы а и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают a ||b .

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектор  а и b называются равными (а = b ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку О пространства.

На рисунке 1 векторы образуют прямоугольник. Справедливо равенство b =d , но а¹ с. Векторы а и с — противоположные, а =-с.

Равные векторы называют также свободными.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны

Линейные операции над векторами

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Пусть а и b — два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор ОА=а. От точки А отложим вектор АВ = b . Вектор ОВ, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов а и b : О B=а+b (см. рис. 2)

.

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника. Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелoграмма (см. рис. 3).

На рисунке 4 показано сложение трех векторов а, b и с.

Под разностью векторов а и b понимается вектор с=а-b такой, что b+с=а (см. рис. 5).

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах а и b одна направленная диагональ является суммой векторов а и b , а другая — разностью (см. рис. 6).

Можно вычитать векторы по правилу: а - b = а + (-b ), т. е. вычитание векторов заменить сложением вектора а с вектором, противоположным вектору b .

Произведением вектора а на скаляр (число) λ  называется вектор λ*а (или а*λ), который имеет длину    |λ|*|а|, коллинеарен вектору а, имеет направление вектора а, если λ>0 и противоположное направление, если λ<0. Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения:

1) если b=λ * а , то b || а . Наоборот, если b ||а , (а¹0 ), то при некотором λ  верно равенство b = λа ;

2)    всегда а =|а | • а ^-о , т. е. каждый вектор равен произведению его мо дуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1.    а+b=b+а 2.     (а +b) +с=а + (b +с), 3.    λ1 • (λ2 •а) =λ1 •λ2 •а, 4.      (λ1 +λ2) •а =λ1 •а +λ2 •а, 5.    λ • (а +b) =λ •а+λ •b.

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.