5 Сравнение средних значений ранжированных признаков двух независимых выборок

Как уже говорилось ранее, если исходные выборки извлечены не из нормальных ГС, то критерий Стьюдента не применим, им нельзя пользоваться. В этом случае используется не параметрический критерий Манна-Уитни. (параметр. – ср. знач. дисперсии; не параметр. – параметры выборки не интересуют). Этот же критерий можно использовать, когда наши исходные данные проранжированы, т.е. измерены в порядковой (ранговой) шкале. Данный критерий позволяет проверить гипотезы о равенстве средних значений двух ГС, когда в качестве исходных данных рассматриваются две независимые выборки. Для решения такой задачи воспользуемся общей схемой проверки статистической гипотезы.

1 этап. Выдвигаются две статистические гипотезы: основная нулевая Н0 о том, что средние значения двух рассмотренных ГС статистически одинаковы и альтернативная Н1 о том, что эти средние значения статистически различны:

Н0: х= у

Н1: х= у

2 этап. Выбираем уровень значимости .

3 этап. Вычисляем необходимое значение статистики критерия. Для этого сначала две исходные независимые выборки (необязательно одинакового объема) х1, х2, …, хn и у1, у2, …, уm объединяем в одну выборку. Полученную объединенную выборку ранжируем, т.е. присваиваем каждому элементу объединенной выборки ранг, который соответствует порядковому номеру этого элемента в упорядоченной объединенной выборке. После этого вычисляем сумму рангов элементов первой выборки, которую обозначим R1 и сумму рангов элементов второй выборки R2. Затем вычисляем промежуточные величины u1=nm+1/2n(n+1) – R1

u2=nm+1/2m(m+1) – R2. Находим наибольшую из этих двух промежуточных величин, которую обозначим через u=max u1, u2 . Тогда наблюдаемое значение статистики критерия вычисляется по формуле: zнабл.= (u – 1/2nm) : ((nm(n+m+1) : 12.

4 этап. Находим критическое значение статистики критерия. В нашем случае статистика критерия имеет стандартное нормальное распределение, поэтому для нахождения критического значения Zкр необходимо воспользоваться статистической таблицей стандартного нормального распределения. В этой таблице сначала находим столбец Ф(х), в котором отыскиваем значение 1 - /2, тогда в этой же строке на пересечении со столбцом х и находится требуемое нам Zкр.

5 этап. Делаем вывод о правильности той или иной гипотезы по следующему правилу:

1) если Zнабл. < Zкр, то принимается нулевая гипотеза Н0, т.е. делаем вывод о том, что средние значения исследуемого признака двух рассматриваемых ГС статистически одинаковы на уровне значимости .

2) если Zнабл. > Zкр, то принимается альтернативная гипотеза Н1, т.е. делаем вывод о том, что эти средние значения статистически различны на уровне значимости . Примечания: 1) не имеет значения как ранжируются элементы выборки: по возрастающей или по убывающей. 2) если два или более элемента выборки имеют одинаковое значение, то они называются совпадающие. В этом случае каждому из этих элементов присваивают ранг, равный среднему значению из тех рангов, которые были бы присвоены этим совпадающим значениям в случае их несовпадения.

Пример: у 26 юношей в возрасте от 18 до 24 лет был измерен уровень невербального интеллекта с помощью методики Векслера. 14 юношей были студентами физического факультета, а 12 – психологического факультета. Можно ли утверждать, что одна из групп превосходит другую по уровню невербального интеллекта?

1 этап. Решаем задачу двух независимых выборок методом Манна-Уитни, т.к. имеются две группы студентов физ. И псих. Факультетов. х1, х2, …, х14 и у1, у2, …, у12. Необходимо сравнить группы по уровню невербального интеллекта, что означает сравнить средние значения. Чтобы не проводить проверку данных на нормальность, мы воспользуемся рассмотренным критерием Манна-Уитни.

n=14 m=12

102 : (4+5) : 2 = 4,5 104 : (6+7) : 2 = 6,5 107 : (10+11+12+13) : 4 = 11,5 111 : (15+16) :2 = 15,5. Для проверки правильности ранжирования мы должны вычислить величину R = ((n+m)(n+m+1)) : 2. Если мы правильно проранжировали, то эта величина R должна равняться сумме R1+R2.

R = R1 + R2 . В нашем случае R1 – сумма рангов элементов первой выборки = 165; R2 – второй выборки = 186 R1+R2=351 R = ((14+12)(14+12+1)) : 2 =351

3 этап. Вычисляем u1=14 12+1/2 14 (14+1) – 165 = 108 u2= 14 12+1/2 12 (12+1) – 186 = 80 Отсюда имеем, что u=108. Zнабл. = (108 – ½ 14 12) : (14 12 (14+12+1)) : 12 = 1,23.

4 этап. = 0,05 1 - /2 = 1 – 0,05/2 = 0,975. Из таблицы находим, что Zкр = 1,96 (был использован метод Манна-Уитни и был получен результат Zнабл. = 1,23 Zкр = 1,96)

Так как Zнабл. < Zкр, то мы принимаем нулевую гипотезу Н0, т.е. делаем вывод о том, что по среднему уровню невербального интеллекта студенты-физики не отличаются от студентов-психологов на уровне значимости 0,05.

6СРАВНЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ РАНЖИРОВАННЫХ ПРИЗНАКОВ ДВУХ СВЯЗАННЫХ ВЫБОРОК Если исходные данные в виде двух связанных выборок извлечены не из нормальных ГС, то парные критерии из параграфа 16 не применимы. В этом случае используется критерий Уилкоксона. Этот же критерий может использоваться, когда исходные данные измерены в порядковой шкале. Исходные выборки в нашем случае должны быть связаны (зависимы), например: данными типа «до – после». Для решения задачи сравнения средних значений воспользуемся общей схемой проверки статистической гипотезы.

!. Выдвигаются две статистические гипотезы: основная нулевая о том, что средние значения двух рассматриваемых ГС статистически одинаковы на уровне значимости и альтернативная гипотеза о том, что эти средние значения статистически различны Н0 : х = у Н1 : у = х.

2. Выбираем уровень значимости .

3. Вычисляем наблюдаемое значение статистики критерия. До этого по двум исходным выборкам одинакового объема х1, х2, …, хn и у1, у2, …, уn получаем одну выборку разностей d1,d2,…,dn, где di=xi=yi. В полученной выборке разностей ранжируем абсолютные величины в возрастающем порядке. После этого каждому рангу приписываем знак его разности. Вычисляем сумму положительных рангов, которую обозначают , тогда наблюдаемое значение статистики критерия вычисляются по следующей формуле: Zнабл. = (N – (n(n+1) : 4) : (n(n+1)(2n+1) : 24).

4. Находим критическое значение статистического критерия. В нашем случае статистика критерия имеет стандартное нормальное распределение, поэтому для нахождения критического значения Zкр необходимо воспользоваться статистической таблицей стандартного нормального распределения (см.4 этап параграфа 17).

5. Делаем вывод о правильности той или иной гипотезы по следующему правилу: 1) если – Zкр < Zнабл. < Zкр, то принимается Н0, т.е. делается вывод о том, что среднее значение двух рассматриваемых ГС статистически одинаковы на уровне значения , или, другими словами, в результате эксперимента не произошло изменений среднего значения исследуемого признака. 2) если Zнабл. < - Zкр или Zнабл. > Zкр, то принимается гипотеза Н1, т.е. делаем вывод о том, что эти средние значения статистики различны на уровне значимости или, другими словами, в результате эксперимента произошли изменения среднего значения исследуемого признака.

Примечания: 1) нулевые разности игнорируются. В этом случае необходимо уменьшить соответствующим образом величину n. 2) если в выборке разностей встречаются абсолютные величины, то в этом случае в качестве ранга совпадающим значениям присваивается ранг, равный среднему значению тех рангов, которые получили бы эти величины в случае их несовпадения.

Пример: два сорта пшеницы сравнивают по урожайности. Сорт «а» - обычной разновидности, сорт «б» - новый гибрид. Для этого выбирают 10 участков, каждый из которых делят пополам. На каждом отдельном участке условия роста и созревания одинаковы, случайным образом выбирают одну половину участка и засевают ее сортом «а», а вторую – «б». Результаты сбора урожая приведены в соответствующей таблице. Есть ли подтверждение того, что урожайность сорта «б» выше урожайности сорта «а»? Принимается гипотеза Н1, т.е. средние урожайности сортов «а» и «б» статистически различны на уровне значимости 0,05. Для окончательного ответа на поставленный задачей вопрос необходимо вычислить среднее значение по данным для сорта «б», а также среднее значение по данным для сорта «а». После чего сравнить арифметически эти вычисленные средние значения. В нашем случае, т.к. положительных разностей гораздо больше и они сравнимы по величине с отрицательными, то действительно средняя урожайность сорта «б» выше средней урожайности сорта «а».