8. Сравнение дисперсий двух зависимых (связанных) выборок

Когда в качестве исходных данных рассматриваются две связанные выборки х1, х2, …, хn и у1, у2, …, уn (т.е. одинакового объема). Например, для данных типа «до-после» мы также можем рассматривать задачу сравнения дисперсий двух ГС. Для решения воспользуемся общей схемой проверки статистической гипотезы.

1. Выдвигаются две статистические гипотезы: Н0: о том, что дисперсии двух рассматриваемых ГС статистики одинаковы. Н1: о том, что эти дисперсии статистики различны.

2 2

Н0 = х = у

2 2

Н1 = х = у

2. Выбираем уровень значимости .

3. Вычисляем наблюдаемое значение статистики критерия. Для этого

2 2

сначала вычисляем по исходным выборкам дисперсии Sx и Sy, а также коэффициент корреляции rху.

n n 2 n 2

Rxy = ( (xi – x) (yi – y) : (xi – x) (yi – y)

i=1 i=1 i=1

Наблюдаемое значение вычисляется по формуле:

2 2 2 2 2

tнабл. = (Sx - Sy) : ((4 Sx Sy ) :n – 2 ) (1 – rxy)

4. Находим критическое значение статистики критерия. В нашем случае статистика критерия имеет t-распространение Стьюдента с числом степеней свободы = n – 2. Поэтому для нахождения критического значения tкр необходимо воспользоваться статистической таблицей распределения Стьюдента.

5. Делаем вывод о правильности той или иной гипотезы по следующему правилу: 1) если – tкр < tнабл. < tкр, то принимается Н0, т.е. делаем вывод, что дисперсии двух рассматриваемых ГС статистики одинаковые на уровне значимости . 2) tнабл. < - tкр tнабл. > tкр, то принимается Н1, т.е. вывод: эти дисперсии статистики различны на уровне значимости .

Пример: 95 учащихся 7 класса и эти же 95 учащихся в 8 классе были подвергнуты тестированию по Стентфордскому тесту. Экспериментатор хотел выяснить, будут ли характеристики учащихся (успеваемость) более постоянными (менее изменчивыми) в 7 или 8 классе. Так как в данном случае рассматриваются одни и те же учащиеся, то наши две исходные выборки х1, х2, …, х95 и у1, у2, …, у95 являются связанными выборками. Так как мы хотим выяснить изменчивость характеристик, то надо проверять гипотезу о равенстве дисперсии. Выбираем = 0,1. По исходным выборкам было вычислено, что 2 2

Sx = 134,56; Sy = 201,64; rxy = 0,876 . Вычисляем tнабл. =

2

(134,56 – 201,64) : (4 134,56 201,64) : (95 – 2) (1 – 0,876) = - 4,07

/2 = 0.1/2 = 0,05 (столбец); = 95 – 2 = 93 (строчка). По таблице находим tкр = 1,66

Так как tнабл < - tкр, то принимается Н1, т.е. дисперсии статистики

2 2

различны на уровне значимости 0,1 или, другими словами, т.к.Sx <Sy, успеваемость у восьмиклассников обладает большей изменчивостью, чем у семиклассников. Если мы хотим сравнить два исследуемых показателя (или один и тот же, но для двух различных групп лиц по их уровню), то необходимо проверять гипотезу о равенстве средних значений. Если хотим сравнить изменчивость (разброс показателя), то необходимо проверять гипотезу о равенстве дисперсий.