- •Часть 1.
- •1.Несобственный интеграл I рода – определение и геометрический смысл.
- •2.Свойства несобственных интегралов I рода.
- •3.Главное значение несобственного интеграла I рода с двумя бесконечными пределами.
- •4.Признаки сходимости несобственных интегралов I рода. Интегралы Дирихле.
- •5.Определение числового ряда. Сумма ряда, сходящийся и расходящийся ряды.
- •6.Необходимый признак сходимости. Пример.
- •7.Остаток ряда. Теорема о сходимости ряда и его остатка.
- •8.Свойства сходящихся рядов.
- •10.Сходимость ряда геометрической прогрессии.
- •11.Положительные ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости.
- •12.Интегральный признак сходимости. Ряды Дирихле.
- •13.Первый признак сравнения. Пример.
- •14.Второй (предельный) признак сравнения. Пример.
- •15.Признак Даламбера.
- •16.Признак Коши.
- •17.Ряды с элементами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимость.
- •22.Функциональный ряд, его область сходимости. Сумма функционального ряда.
- •23.Отыскание области сходимости функционального ряда (пример).
- •24.Равномерная сходимость функционального ряда. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса.
- •25.Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.
- •26.Поэлементное интегрирование и дифференцирование равномерно сходящегося ряда.
- •27.Степенные ряды. Первая теорема Абеля.
- •28.Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Вторая теорема Абеля. Непрерывность суммы степенного ряда.
- •29.Теоремы о поэлементном дифференцировании и интегрировании степенного ряда.
- •30.Ряд Тейлора. Условие разложимости функции в ряд Тейлора.
- •31.Разложение в степенные ряды некоторых элементарных функций.
6.Необходимый признак сходимости. Пример.
Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. . Пусть ряд сходится и . Тогда и . Учитывая, что при n>1, получаем: . Следствие (достаточное условие расходимости ряда) Если или этот предел не существует, то ряд расходится. Действительно, если бы ряд сходился, то (по теореме) . Но это противоречит условию. Значит, ряд расходится. Теорема о сходимости дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное: из условия не следует, что ряд сходится. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых . В качестве примера рассмотрим так называемый гармонический ряд Очевидно, что . Однако ряд расходится.
Докажем, что ряд из первого примера расходится. Общий член ряда: Вывод: ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
7.Остаток ряда. Теорема о сходимости ряда и его остатка.
Теорема: (об оценке остатка знакочередующегося числового ряда)
Если знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, то его n–й остаток по абсолютной величине не превосходит модуля (n+1)–го члена ряда.
Рассмотрим сходящийся ряд
|
|
Вычисление суммы ряда обычно технически очень сложно. Поэтому в качестве S берут Sn:S»Sn. Точность последнего равенства возрастает с увеличением n.
Определение: Если числовой ряд сходится, то разность Rn=S–Sn называется n–м остатком ряда.
Таким образом, Rn представляет собой сходящийся числовой ряд:
Rn=Un+1+Un+2+…
Заметим, что .
Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой Sn равна |Rn|=|S–Sn|.
Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до e>0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось условие: |Rn|<e.
Однако в общем случает находить точно Rn не удается.
8.Свойства сходящихся рядов.
1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости какого-то остатка вытекает сходимость всего ряда. Отсюда следует, что изменение или выбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости. 2. Если ряд сходится, то . 3. Если ряд сходится, то сходится ряд и имеет место равенство . 4. Если ряды и сходятся, то сходится и ряд имеет место равенство . 5. Если ряд сходится, то .
9.Исследование сходимости и сочетательного свойства ряда (-1)n.
В общий член ряда входит множитель , а значит, нужно использовать признак Лейбница
1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно =-1+1-1+1 и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».
2) Убывают ли члены ряда по модулю? Необходимо решить предел , который чаще всего является очень простым. An=0 Вывод: ряд сходится.