14.Второй (предельный) признак сравнения. Пример.

Пусть имеются два строго положительных ряда

A= и B= ( )

Пусть существует конечный, отличный от нуля, предел l= ( ) Тогда ряды A и B сходятся или расходятся одновременно.

Пример.

Исследовать ряд   на сходимость. Решение.

Будем сравнивать наш ряд со сходящимся рядом  . Получаем

Следовательно данный ряд сходится согласно предельному признаку сравнения.

15.Признак Даламбера.

Теорема. Если в ряде с положительными членами   отношение  -го члена ряда к  -му при  имеет конечный предел  , т.е.  , то: - ряд сходится в случае  , - ряд расходится в случае  . В случаях, когда предел не существует или он равен единице, ответа на вопрос о сходимости или расходимости числового ряда теорема не дает. Необходимо провести дополнительное исследование.

16.Признак Коши.

Рассмотрим ряд   с положительными членами. Согласно признаку Коши:

Если , то ряд   сходится;

Если , то ряд   расходится;

Если , то вопрос о сходимости ряда  , также как для признака Даламбера, остается открытым.

17.Ряды с элементами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимость.

Ряды со слагаемыми произвольного знака

Пусть теперь отдельные слагаемые   ряда   имеют произвольный знак.

Теорема. Если ряд   сходится, то ряд   также сходится.

Определение. Если ряд   сходится, то ряд   называется абсолютно сходящимся. Если ряд   сходится, а  , то ряд   называется неабсолютно сходящимся.

Признак Дирихле. Пусть все частные суммы ряда   ограничены (то есть  ), а   при  . Тогда ряд   сходится.

Абсолютная и условная сходимость.

Знакопеременный ряд   сходится, если сходится ряд  .

В этом случае знакопеременный ряд   называют абсолютно сходящимся.

Сходящийся знакопеременный ряд   называют условно сходящимся, если ряд   расходится.

18.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Если члены знакочередующегося ряда убывают по модулю, то ряд сходится.

Или в два пункта:

1) Ряд является знакочередующимся.

2) Члены ряда убывают по модулю. То есть,  .

Если выполнены оба условия, то ряд сходится.

19. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

Оценка остатка ряда Лейбница

Из доказательства признака Лейбница следует, что сумма знакопеременного сходящегося ряда меньше по модулю первого члена остатка ряда. Поскольку любой остаток ряда r_n является также рядом Лейбница, то для него справедливо:

.

20.. Исследование сходимости знакочередующегося ряда Дирихле.

Ряд   сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

Последовательность действительнозначных функций   монотонна   и 

Частичные суммы   ряда  равномерно ограничены.

21.Свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости какого-то остатка вытекает сходимость всего ряда. Отсюда следует, что изменение или выбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.

2. Если ряд   сходится, то  .

3. Если ряд   сходится, то сходится ряд   и имеет место равенство

.

4. Если ряды   и   сходятся, то сходится и ряд    имеет место равенство

.

5. Если ряд   сходится, то  .

Отсюда следует

Признак расходимости ряда. Если  , то ряд   расходится.