- •Часть 1.
- •1.Несобственный интеграл I рода – определение и геометрический смысл.
- •2.Свойства несобственных интегралов I рода.
- •3.Главное значение несобственного интеграла I рода с двумя бесконечными пределами.
- •4.Признаки сходимости несобственных интегралов I рода. Интегралы Дирихле.
- •5.Определение числового ряда. Сумма ряда, сходящийся и расходящийся ряды.
- •6.Необходимый признак сходимости. Пример.
- •7.Остаток ряда. Теорема о сходимости ряда и его остатка.
- •8.Свойства сходящихся рядов.
- •10.Сходимость ряда геометрической прогрессии.
- •11.Положительные ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости.
- •12.Интегральный признак сходимости. Ряды Дирихле.
- •13.Первый признак сравнения. Пример.
- •14.Второй (предельный) признак сравнения. Пример.
- •15.Признак Даламбера.
- •16.Признак Коши.
- •17.Ряды с элементами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимость.
- •22.Функциональный ряд, его область сходимости. Сумма функционального ряда.
- •23.Отыскание области сходимости функционального ряда (пример).
- •24.Равномерная сходимость функционального ряда. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса.
- •25.Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.
- •26.Поэлементное интегрирование и дифференцирование равномерно сходящегося ряда.
- •27.Степенные ряды. Первая теорема Абеля.
- •28.Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Вторая теорема Абеля. Непрерывность суммы степенного ряда.
- •29.Теоремы о поэлементном дифференцировании и интегрировании степенного ряда.
- •30.Ряд Тейлора. Условие разложимости функции в ряд Тейлора.
- •31.Разложение в степенные ряды некоторых элементарных функций.
29.Теоремы о поэлементном дифференцировании и интегрировании степенного ряда.
Пусть функция является суммой ср. (30.1) на
Тогда 1) дифференцируема на причем
сходится абсолютно в этом интервале;
2) интегрируема на том же интервале, причем для имеем
30.Ряд Тейлора. Условие разложимости функции в ряд Тейлора.
Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд
называется рядом Тейлора функции f в точке a.
Если функция f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и ее производные равномерно ограничены в совокупности, т. е. существует такая константа М, что для всех выполняется условие при п=0,1,2,…, то функцию можно разложить в ряд Тейлора на этом интервале.
31.Разложение в степенные ряды некоторых элементарных функций.
Если существует , то говорят, что сходится бесконечный ряд (другое обозначение ) (2) и его сумма равна .
Если же не существует, либо бесконечен, то говорят, что ряд (2) расходится. Величины называются частичными суммами ряда. Можно кратко переформулировать данное выше определение: Ряд сходится Û существует предел его частичных сумм.