5.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, их решение. Однородные д.У. 1 порядка.

Дифференциальные уравнения вида называются уравнениями с разделяющимися переменными. Тогда любое решение у(х) этого уравнения будет удовлетворять и уравнению где с – произвольная постоянная. Если удается найти первообразные функций f1(x) и f2(y), выраженные в элементарных функциях, то из можно получить конечное уравнение вид Ф(х , у)=0

которое определяет решение у(х) уравнения как неявную функцию х.

Определение . Уравнение вида Ф(х , у)=0 называется интегралом уравнения , а если оно определяет все решения – общим интегралом этого уравнения.

Если требуется найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условию у(х0)=у0 , достаточно подставить значения х0 и у0 в уравнение Ф(х , у)=0 и найти значение с, соответствующее начальному условию.

К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка, имеющие вид:

Действительно, замена или y = xt приводит к

=> , , ,

.

Еще одной формой однородного уравнения является уравнение M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 если М(х,у) и N(x,y) – однородные функции одинаковой степени однородности.

При этом .

6 Или 7.Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка, структура общего решения неоднородного уравнения. Уравнения Бернулли.

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида

называется линейным дифференциальными уравнениями. Для его решения обычно используют метод вариации постоянной.

Линейное неоднородное уравнение первого порядка 

     Общее решение:

Уравнения Бернулли

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

называется уравнением Бернулли (при n = 0 или n = 1 получаем неоднородное или однородное линейное уравнение). При n= 2 является частным случаем уравнения Риккати. 

8.Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Линейный дифференциальный оператор n-го порядка и его свойства. Структура общего решения лнду – n.

Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида  y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = f(x),  где y = y(x) — неизвестная функция,  a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x),  f(x) — известные функции, которые будем полагать непрерывными на промежутке (a, b).

Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n -го порядка:  L(y) = y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y .  Уравнения  y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = 0 и  y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = f(x),  f(x) № 0

Структура общего решения ЛНДУ – n.

y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0.

Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(x, C1,..., Cn ), зависящая от n произвольных постоянных C1,..., Cn и удовлетворяющая следующим условиям :

− при любых допустимых значениях постоянных C1,..., Cn функция y = Φ(x, C1,..., Cn ) является решением уравнения на [a; b] ;

− какова бы ни была начальная точка (x0, y0, y1,0 ,..., yn − 1,0 ) , x0∈ [a;b] , существуют такие значения C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 , что функция y = Φ(x,C10 , ..., Cn0) удовлетворяет начальным условиям y(x0) = y0, y '(x0) = y1,0 ,..., y(n − 1) (x0) = yn− 1,0 .

Справедливо следующее утверждение ( теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения).

Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b] , а функции y1(x),y2(x),..., yn(x) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения, то общее решение уравнения имеет вид

y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x),

где C1,...,Cn — произвольные постоянные.