9.Линейно-независимые и линейно-зависимые функции. Определитель Вронского и его свойства.

Функции y1(x), y2(x), ..., yn(x), определённые на отрезке [a;b], называются линейно зависимыми на [a;b] , если существуют постоянные α1, α2, ..., αn, не равные нулю одновременно и такие, что α1y1(x) + α2y2(x) + ... + αnyn(x) = 0 для всех x из отрезка [a;b].

В противном случае функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) называются линейно независимыми.

Линейную зависимость и линейную независимость функций определяют также на (a;b) , (a;b] , [a;b) , на бесконечных промежутках.

Справедливо следующее утверждение.

Функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией других на этом отрезке .

Определитель Вронского и его свойства.

системы функций  , дифференцируемых на промежутке I (n-1)-раз — функция на I, задаваемая определителем следующей матрицы:

Св-ва.

Если   — линейно зависимы на I, то  .

Если определитель Вронского на интервале отличается от нуля хотя бы в одной точке, то функции  являются линейно независимыми (прямое следствие предыдущего свойства). Обратное вообще говоря неверно (см. пример 3), но для случая, когда функции являются решениями дифференциального уравнения будут верны более сильные следствия (см. ниже).

Если   - решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка, то   называется вронскианом этого уравнения. Определитель Вронского однородного дифференциального уравнения либо тождественно равен нулю, и это означает, что   линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке I, что означает линейную независимость функций  .

Если   - решения линейной однородной системы, то   либо тождественно равен нулю, и это означает, что   линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке I, что означает линейную независимость функций  .

 - где Wi — определитель Вронского, в котором строка с номером i заменена строкой производных:

10.Фундаментальная система решений линейного однородного д.У. N-го порядка. Структура общего решения этого уравнения.

Иными словами любые n линейно независимых решений   y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) уравнения y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0 образуют фундаментальную систему решений.

 

Доказано, что у однородного линейного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами существует фундаментальная система решений.

Пусть задана некоторая линейно независимая система n векторов из R_n:

И пусть функции   y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) — решения линейного однородного уравнения с начальными условиями:

Функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения.

11.Задача Коши для лнду n-го порядка. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.

На основании теоремы-следствия может быть сформулирован следующий алгоритм решения задачи Коши для линейного неоднородного уравнения n-го порядка:

 a_n(t)x⁽ⁿ⁾+ a_n-1(t)x^(n-1)+ ... a₁(t)x¹+a₀(t)x=f(t)

 x(t₀)=x₀,x¹(t₀)=x¹₀, ... , x^(n-1)(t₀)=x₀^(n-1) 

Справедлива следующая теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.

Теорема Коши. Пусть в области D из Rⁿ⁺¹ непрерывны все компоненты вектора правой части F(x,Y) и их частные производные по Y:

Тогда, какова бы ни была начальная точка (x₀,Y₀) ≡ (x₀,y_{1, 0} ,y_{2, 0}, … ,y_{n, 0} ) ∈ D , существует такой отрезок [x₀ − h; x₀ + h] , что задача Коши   Y' =F(x,Y), что Y(x₀)=Y₀ имеет единственное решение.

 

Важно понимать, что теорема Коши имеет локальный характер: существование решения Y = Y(x) гарантируется лишь в достаточно малой окрестности точки x₀ , ( h > 0 может оказаться достаточно малым).

Важно также понимать, что теорема содержит только достаточные условия существования и единственности решения — при нарушении условий теоремы задача Коши может иметь или не иметь решений, может иметь несколько решений.