12.Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение, характеристический полином.

Однородное уравнение второго порядка:

a₂y'' + a₁y' + a₀y = 0

интегрируется следующим образом:

Пусть λ₁,λ₂ — корни характеристического уравнения.

a₂λ² + a₁λ + a₀ = 0,

являющегося квадратным уравнением.

Вид общего решения однородного уравнения зависит от значения дискриминанта  :

при Δ > 0 уравнение имеет два различных вещественных корня

Общее решение имеет вид:

• при Δ = 0 — два совпадающих вещественных корня

Общее решение имеет вид:

y(t) = c₁e^αt + c₂te^αt

• при Δ < 0 существуют два комплексно сопряженных корня

Общее решение имеет вид:

y(t) = c₁e^αtcos(βt) + c₂e^αtsin(βt)