4. Производная суммы, произведения, частного двух функций.

1) (u±v)’=u’±v’,

2) (u·v)’=u’v+v’u,

3) (v/u)'=(u’v-uv’)/u^2

5. Понятие сложной функции. Правило вычисления производной сложной функции на промежутке

Сложная функция – функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = z(y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.Производная дифференцируемой сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточной функции по независимому аргументу:

6. Теорема Ролля,Лагранджа

Теорема Ролля Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]; дифференцируема в интервале (a, b);

на концах отрезка [a, b] принимает равные значения. Тогда существует точка c€ (a, b) такая, что f'(c) = 0

Теорема Лагранжа

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]; дифференцируема в интервале (a, b).

Тогда существует точка с € (a, b) такая, что f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a)

7. Определение монотонной функции. Достаточное условие монотонности функции на промежутке.

Монотонная функция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное.

Достаточное условие монотонности функции.

Если непрерывная на отрезке [а, b] функция у = f(х) в каждой точке интервала (а, b) имеет положительную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [а, b].

Доказательство. Пусть f’(x)>0 для всех хÎ (а,b). Рассмотрим два произвольных значения x2 > x1, принадлежащих [а, b]. по формуле Лагранжа f(x2)-f(x1)=(x2-x1)*f’(c), х1<с < х2, f’(с) > 0 и х2 – х1 > 0, поэтому f(x2)-f(x1)>0, откуда f(x2)> f(x1), то есть функция f(х) возрастает на отрезке [а, b]. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

8. Определение экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции(теорема Ферма)

Экстремум — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Необходимое условие экстремума.

Если точка хо является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f’, то она равна нулю:F’(x0) =0.

Рассмотрим случай f'(x0)>0. По определению производной отношение (f(x2)-f(x1))/x2-x1 при х→х0 стремится к положительному числу f' (х0), а следовательно, и само будет положительно при всех х, достаточно близких к x0. Для таких X

(f(x2)-f(x1))/x2-x1>0

и, значит, f(x)>f(x0) для всех х>х0 из некоторой окрестности точки x0. Поэтому х0 не является точкой максимума.

Если же х<х0, то f (x)<f(x0), и, следовательно, х0 не может быть и точкой минимума f.

9) Достаточное условие экстремума функции

Необходимое условие экстремума. Во всех точках экстремума производная функции не существует или равна нулю.

Обратное, вообще говоря, неверно. Так, точка x = 0 функции y = x^3 не является ни максимумом, ни минимумом.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками. Таким образом, все экстремумы являются критическими точками