13) Операции над комплексными числами в алгебраической форме и их свойства.

Сложение

Сумма двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида 

z=z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a + c) + (b + d)i. 

Пример: ( 5+3i)+( 3−i)=8+2i 

Вычитание

Разность двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z1−z2=(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i 

Пример (5+3i)−(3−i)=2+4i 

Умножение

Произведение двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида

 z=z1*z2=(a+bi)*(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i 

Пример: ( 3+2i)* (4−i)=12−3i+8i−2i2=14+5i 

Деление

Частное двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида

z=z1/z2=a +bi/ c+di = ac+bd /c^2+d^2+ bc−ad/ c^2+d^2 * i

Степени мнимой единицы

i0=1  i3=−i  i6=−1  i4n=1 

i1=i i4=1  i7=−i  i4n+1=i

i2=−1  i5=i...

14) Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Геометрический смысл операций сложения и вычитания

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x иy. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy - мнимой.

Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число

называется модулем комплексного числа z и обозначается символом |z|.

Число

называем аргументом комплексного числа z и обозначаем символом θ = arg z. При заданном rуглы, отличающиеся на  , соответствуют одному и тому же числу. В этом случае записываем   называем главным значением аргумента.

Числа r и θ называют полярными координатами комплексного числа z. В этом случае

z = (x, y) = (r cos θ, r sin θ) = r(cos θ + i sin θ)

называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если z₁ = (r₁ cos θ₁, r₁ sin θ₁), z₂ = (r₂ cos θ₂, r₂ sin θ₂), то

z₁z₂ = (r₁r₂ cos(θ₁ + θ₂), r₁r₂ sin(θ₁ + θ₂)),

15) тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Геометрический смысл умножения комплексных чисел. Возведение комплексного числа в n-ю степень. Формула Муавра

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент (x = rcos φ, y = rsin φ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

z = r(cos φ + isin φ).

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

z = re^iφ,

где e^iφ — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

По определению, произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число

ac – bd + i(ad + bc).

Операция деления комплексных чисел определяется как обратная операции умножения. В общем случае частное , где – комплексно сопряжённое для число. Несложно подсчитать, что

Умножение и деление комплексных чисел

Операции умножения и деления комплексных чисел достаточно просто записываются в тригонометрической форме. Если и , то

А

Для операции умножения комплексных чисел верны коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы:

z1 z2 = z2 z1,

(z1z2)z3 = z1(z2z3),

z1 z2 + z1 z3 = z1(z2 + z3).

Кроме того, вводится число 1 такое, что z ∙ 1 = z для любого z. Произведение же комплексного числа на 0 всегда равно 0.

Геометрический смысл умножения комплексных чисел

Формула Муавра

Формула Муавра для комплексных чисел утверждает, что

для любого nЄZ

Доказательство

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера и тождества для экспонент , где b — целое число.

16) Определение комплексного корня n-й степени из комплексного числа. Геометрический смысл умножения комплексных корней n-й степени из единицы.

Для n-й степени числа z = (r cos θ, r sin θ) формула приобретает вид zn = (rn cos nθ, rn sin nθ).

При r = 1 соотношение приобретает вид zn = (cos nθ, sin nθ) и называется формулой Муавра.

Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находятся по формуле

    

Не закончен 

17) Многочлены от одной переменной. Степень многочлена. Равные многочлены. Основные свойства операции сложения и умножения.

Определение. Многочленом (полиномом) называется выражение вида

где — элементы некоторого поля , x — буква, – коэффициенты полинома, a0 – старший коэффициент.

Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов, тождественный нуль не имеет степени(a0 != 0).

Сложение многочленов

Если то

где

Умножение многочленов

где

В частности

18) Деление многочленов с остатком. Существование и единственность частного и остатка.

Алгоритм деления с остатком

Для любых f(x), g(x) существуют q(x) (частное) и r(x) (остаток), такие, что f(x)=g(x)q(x)+r(x), причем степень r(x) < степени g(x) или r(x) = 0. Многочлены g(x) и r(x) определены однозначно.

Частное и остаток находят с помощью так называемого правила деления "уголком".

Пример

19) Значение многочлена. Корень многочлена. Теорема Безу и ее важнейшее следствие.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x − a равен P(a).

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Доказательство

Поделим с остатком многочлен P(x) на многочлен x − a:

P(x) = (x − a)Q(x) + R(x).

Так как deg R(x) < deg(x − a) = 1, то R(x) — многочлен степени не выше 0. Подставляя x = a, поскольку (a − a)Q(a) = 0, имеем P(a) = R(a).

Следствия

- Число a является корнем многочлена p(x) тогда и только тогда, когда p(x) делится без остатка на двучлен x − a (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена P(x) тождественно множеству корней соответствующего уравнения P(x) = 0).

- Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).

- Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k.