7 Почленне інтегрування та диференціювання раціональних рівнянь

Функціональний ряд, який є рівномірно збіжним на деякому інтервалі, можна почленно інтегрувати на цьому інтервалі.

Тобто, якщо - рівномірно-збіжний на , інтервал то

Доведення:

Нехай відповідно .

Розглянемо модуль різниці:

,

Нехай члени ряду - неперервно диференційовані функції на інтервалі , ряд складений з похідних - є рівномірно збіжний на проміжку . Якщо при цьому вихідний ряд є збіжний хоча б в одній точці то він є:

а) рівномірно збіжний на інтервалі ;

б) його сума являє собою неперервно диференційовну функцію на інтервалі ;

в) ряд допускає почленне диференціювання, тобто похідна суми ряду дорівнює сумі похідних його членів.

Доведення:

Нехай . Такий ряд, як рівномірно збіжний ряд з неперервних функцій, допускає почленне інтегрування на проміжку

, при цьому ряд - є збіжним, отже, збігається і ряд , причому ця збіжність є рівномірною. Оскільки , то диференціюючи цю рівність, переконуємось, що ряд допускає по членне диференціювання.

.

8 Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус збіжності.

Означення: Функціональний ряд вигляду називається степеневим рядом в околі точки .

Зауваження: В певних випадках розглядатимуться також степеневі ряди спеціального вигляду у яких степені можуть бути від’ємними або не цілими.

Теорема Абеля:

Якщо степеневий ряд збігається при , то він абсолютно збігається і при всіх значеннях , таких що .

Доведення:

Якщо ряд - збігається, то , отже члени цього ряду є обмеженими величинами. В той же час , де .

Скориставшись мажорантно-мінорантною ознакою порівняння, можемо стверджувати, що ряд - є збіжним, оскільки він мажорується за абсолютною величиною сумою членів нескінченно спадної геометричної прогресії

9 Почленне дифер. Степ. Рядів. Рівномірна збіжність степеневих рядів.

Розглянемо ряди, радіуси збіжності яких позначено, відповідно через

;

;

;

О скільки для третього з них

0

то, за граничною ознакою порівняння, радіус збіжності третього ряду не менше радіуса збіжності першого ряду.

Нехай ряд збігається при = , тоді , де величина є обмежена.

Нехай , тоді , але ряд збіжний за ознакою Даламбера, тобто радіус збіжності третього ряду не більше за радіус збіжності другого.

10 Ряд Тейлора. Ряди Маклорена основних елементарних функцій.

Формула Тейлора для функції f(x):

Якщо , то за означенням:

Для функції sinx; cosx; e^x; ln(1+x); shx; chx не важко показати, що .

При х₀=0:

11 Біоміальний ряд.

Якщо розглянути формулу Тейлора для функції , то важко показати чому .

Розглянемо диференціальне рівняння:

Неважко перевірити, що розв'язок: .

Як відомо задача Коші має єдиний розв'язок. Знайдемо розв'язок цього диф. рівняння у вигляді степеневого ряду:

Підставимо ці ряди в рівняння і одержимо тотожність:

Розкриємо дужки та прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях:

Оскільки задача Коші має єдиний розв'язок, то:

Дослідивши цей ряд за допомогою ознаки Даламбера одержимо:

Частинні випадки:

Підставимо в останню формулу замість

Проінтегруємо цей ряд від 0 до х: