- •1 Ряди. Властивості збіжних рядів.
- •В ластивості збіжних рядів
- •2 Теореми порівняння
- •3 Ознаки збіжності числових рядів з додатними членами
- •4 Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди, їх властивості.
- •5 Функціональні ряди. Властивості рівномірно збіжних рядів
- •6 Неперервність суми функціонального ряду
- •7 Почленне інтегрування та диференціювання раціональних рівнянь
- •8 Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус збіжності.
- •9 Почленне дифер. Степ. Рядів. Рівномірна збіжність степеневих рядів.
- •10 Ряд Тейлора. Ряди Маклорена основних елементарних функцій.
- •11 Біоміальний ряд.
- •12 Ряд Фур’є з періодичної функції з періодичної функції.Теор Діріхле.
- •13 Ряд Фур’є для парних і непарних функцій.
- •14 Ряди Фур’є з довільним періодом. Ряд Фур’є функції заданої на дов. Проміжку. Теор. Діріхле.
- •15 Ряд Фур’є в комплексній Формі. Теорема Діріхле.
- •16 Інтеграл Фур’є в тригонометричній формі. Умови збіжності.
- •17 Інтеграл Фур’є в в комплексній формі.
- •18 Перетворення Фур’є в комплексній формі .Sin-,cos- перетворення Фур’є
- •19 Властивості перетворення Фур’є.
- •20 Похідна ф-ції комплексної змінної. Умови Коші – Рімана.
- •21 Геометричний зміст модуля.
- •22 Елементарні функції та їх властивості
- •23 Елементарні функції sinz;cosz;lnz
- •24 Обернено тригон.Функції та їх властивості.
- •25 Інтегра від функції комплексної змінної. Його властивості,формула обчислення(довести 4 власт)
- •26 Інтегральна теорема Коші. Узаг. Теорема коші.
- •27 Інтегр. Ф-ла Коші
- •28 Первісна функції комплексної змінної(довести самост.)
- •29 Ряд Тейлора(фкз). Формула Коші для похідної.
- •30 Ряд Лорана.
- •31 Особливі точки фкз. Їх класифікація.Ряд Лорана в усувн.Т.
- •32 Ряд Лорана в полюсі.
- •33 Лишки, їх обчислення. Обчислення лишків в полюсі. Лишки
- •Теорема Коші
- •34 Перетв Лапласа.Зображення деяких оригіналів
- •Доведення
- •35 Властивості перетворення Лапласа.
- •36 Теорема Бареля
- •37 Формула Рімана – Мелліна.
- •38 Знаходження оригіналів за допомогою лишків.
- •Доведення
- •39 Ітеграл Дюамеля
26 Інтегральна теорема Коші. Узаг. Теорема коші.
Теорема коші Якщо функція f(z) аналітична в однозвязнів області D то інтеграл від цієї функції по будьякому замкненому контуру L що лежить в області D дорывнюэ нулю тобто Доведемо теорему припускаючи неперервність похідної Оскільки відом що . В силу аналітичності і неперервності воднозвязній області D, функції u=u(x;y) v=v(x;y) неперервні і диференційовні в цій одбалті і задовольняють умовам Ейлера-Даламбера; і Ці умови означають рівність нулю інтегралів . Відповідно . Наслідок Якщо f(z) аналітична функція в однозвязній області D то інтеграл від неї не залежить від форми шляху інтегрування, а залежить лише від початкової і кінцевої точок інтегрування.
F(z) первісна f(z) в області D якщо
невизначений інтеграл
Інтеграл Коші Інтегральна, формула Коші
Нехай функція f(z) аналітична в замкнутій однозвязній області і L Тоді має місце формула де z0 Є D- будьяка точка в області D, а інегрування по контуру L виконується в додатньму напрямку( проти годинникової стрілки)
Теорема(Наслідок) Для будьякої диференційовної в точці z0 функції f(z) існують похідні всіхпорядків, причому n-на похідна має вигляд
27 Інтегр. Ф-ла Коші
Т еорема: Нехай f(z)-аналітична в однозв’язній області z. -замкнена жорданова крива, яка належить разом із своєю внутрішньою частиною, точка -лежить всередині . Тоді f( dz.
Доведення: Заштрихована область – двохзв’язна область , обмежена контурами , в якій функція – аналітична. Тоді, згідно наслідку до теор. Коші, маємо:
. Звіси слідує:
Але Звідси:
Оцінимо різницю в лівій частині рівності (1). Так як аналітична функція неперервна в точці є D, то для будь-якого числа знайдеться число таке, що при
(на колі маємо ) справедлива нерівність:
Отже маємо:
Так як можна вибрати як завгодно малим, а ліва частина останньої нерівності не залежить від то вона рівна нулю:
28 Первісна функції комплексної змінної(довести самост.)
Теорема: Якщо – аналітична в однозв’язній області, то функція: – аналіт. І .
Доводення:
Функція
Можна показати, що якщо , де С=const. Сукупність всіх первісних функцій називається невизначеним інтегралом від функції і позначається ,
Нехай функція є первісна функції для . Звідси, = . Підставим тут z=z0, отримаємо:
0= (контур замикається, інтеграл дорівнює нулю). Звідси, С= - , а значить:
=
Отримана формула називається формулою Ньютона- Лейбница.
29 Ряд Тейлора(фкз). Формула Коші для похідної.
Теорема: – аналітична ф-ія. Область збіжності цього ряду – круг:
Теорема: якщо - аналітична в області : , то ії можна представити у вигляді:
. Цей ряд – ряд Тейлора, бо
Доведення: Запишемо інтегральну формулу Коші:
Розкладемо в степеневий ряд ф-цію, користуючись формулою неск. Складної геометричної прогресії:
П ідставимо цей ряд в інтеграл та про інтегруємо його почленно. Одержимо:
Наслідок: Якщо порівняти коефіцієнти з різних формул, одержимо формулу Коші для похідної: