- •1 Ряди. Властивості збіжних рядів.
- •В ластивості збіжних рядів
- •2 Теореми порівняння
- •3 Ознаки збіжності числових рядів з додатними членами
- •4 Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди, їх властивості.
- •5 Функціональні ряди. Властивості рівномірно збіжних рядів
- •6 Неперервність суми функціонального ряду
- •7 Почленне інтегрування та диференціювання раціональних рівнянь
- •8 Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус збіжності.
- •9 Почленне дифер. Степ. Рядів. Рівномірна збіжність степеневих рядів.
- •10 Ряд Тейлора. Ряди Маклорена основних елементарних функцій.
- •11 Біоміальний ряд.
- •12 Ряд Фур’є з періодичної функції з періодичної функції.Теор Діріхле.
- •13 Ряд Фур’є для парних і непарних функцій.
- •14 Ряди Фур’є з довільним періодом. Ряд Фур’є функції заданої на дов. Проміжку. Теор. Діріхле.
- •15 Ряд Фур’є в комплексній Формі. Теорема Діріхле.
- •16 Інтеграл Фур’є в тригонометричній формі. Умови збіжності.
- •17 Інтеграл Фур’є в в комплексній формі.
- •18 Перетворення Фур’є в комплексній формі .Sin-,cos- перетворення Фур’є
- •19 Властивості перетворення Фур’є.
- •20 Похідна ф-ції комплексної змінної. Умови Коші – Рімана.
- •21 Геометричний зміст модуля.
- •22 Елементарні функції та їх властивості
- •23 Елементарні функції sinz;cosz;lnz
- •24 Обернено тригон.Функції та їх властивості.
- •25 Інтегра від функції комплексної змінної. Його властивості,формула обчислення(довести 4 власт)
- •26 Інтегральна теорема Коші. Узаг. Теорема коші.
- •27 Інтегр. Ф-ла Коші
- •28 Первісна функції комплексної змінної(довести самост.)
- •29 Ряд Тейлора(фкз). Формула Коші для похідної.
- •30 Ряд Лорана.
- •31 Особливі точки фкз. Їх класифікація.Ряд Лорана в усувн.Т.
- •32 Ряд Лорана в полюсі.
- •33 Лишки, їх обчислення. Обчислення лишків в полюсі. Лишки
- •Теорема Коші
- •34 Перетв Лапласа.Зображення деяких оригіналів
- •Доведення
- •35 Властивості перетворення Лапласа.
- •36 Теорема Бареля
- •37 Формула Рімана – Мелліна.
- •38 Знаходження оригіналів за допомогою лишків.
- •Доведення
- •39 Ітеграл Дюамеля
12 Ряд Фур’є з періодичної функції з періодичної функції.Теор Діріхле.
Нехай f(x) обмежена та кусково-монотонна на [-П;П]. Тоді її ряд Фур’э збіг. В кожній точці проміжка до значення:
*
Функція, яка задовол. Умовам теореми може мати розриви тільки I роду.Це означає, що в кожній точці існують
Очевидно, що в точці неперервності:
Отже , ряд Фур’є майже в кожній точці збіг. до f(x)
Теорема 2: Нехай та мають скінчену кількість точок розриву на проміжку [-П;П].Тоді ряд Фур’є збігається в кожній точці до значення :
Ряд Фур’є 2П- періодичної функції:
Будемо розкладати ф-цію f(x) у ряд Фур’є по синусам:
Для цього необхідно продовжити f(x) вліво непарним чином:
1)Намалюємо графік функції: 2)
3)Продовжимо другу ф-цію періодично з періодом 2П
Одержимо ф-цію :
4)Функція обмежена та кусково-монотонна на [-П;П]. Отже за т. Діріхле, її ряд збігається до значення S(x), або S(x)- не має розривів.
5)Знаходимо коефіцієнти: a0=an=0
Проінтегруємо частинами:
6) Запишемо ряд Фур’є:
при
7)Малюэться графік функції f(x).
Ф-ція може бути задана на проміжку довжиною 2П. Напр.:
Можна показати, що в цьому випадку формули для коефіцієнтів мають вид:
n=1,2,3
n=1,2,3
13 Ряд Фур’є для парних і непарних функцій.
1) - непарна
2) – парна
1. Нехай ) – непарна і задовольняє умовам теореми Діріхлє
– ряд Фур’є.
непарна.
– парна. n є N
2. – парна ряд Фур’є.
Теорема Діріхлє: Нехай обмежена та кусково-монотонна на . Тоді її ряд Фурє збігається в кожній точці проміжка до значення: . В точках неперервності функції сума ряду S(x) співпадає із самою функцією: S(x)=f(x).
14 Ряди Фур’є з довільним періодом. Ряд Фур’є функції заданої на дов. Проміжку. Теор. Діріхле.
Нехай f(x) – періодична функція з періодом Т задана на відрізку [a;b] і можна розбивати її періодично.
Нехай
Зробимо заміну змінних
Якщо f(x) задовольняє умовам теореми Діріхле і функція g(t) задовольняє цим умовам. g(t) періодична .
Отже, має місце співвідношення
Зробимо зворотню заміну
Часто
Отже,
Аналогічно:
Якщо f(x) – парна:
f(x) – непарна:
Можливо 2 задачі:
Розкласти в ряд Фур’є f(x), T,
f(x),
Вважаємо - період.
,
Теорема Діріхле: нехай f(x) обмежена та кусково-монотонна на . Тоді її ряд Фур’є збігається в кожній точці проміжка до значення: В точках неперервності функції сума ряду S(x) співпадає із самою функцією:
15 Ряд Фур’є в комплексній Формі. Теорема Діріхле.
Можна цю формулу обґрунтувати за допомогою рядів Маклорена.
формально замість
Підставимо ці формули в ряд Фур’є:
Запишемо ряд у вигляді:
В цих позначеннях амплітудно-частотний спектр
Теорема Діріхле: нехай f(x) обмежена та кусково-монотонна на . Тоді її ряд Фур’є збігається в кожній точці проміжка до значення: В точках неперервності функції сума ряду S(x) співпадає із самою функцією: