Распределение вероятности в малых выборках в зависимости
от коэффициента доверия t и объема выборки n
n |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
15 |
20 |
∞ |
t |
||||||||||
0,5 |
0,348 |
0,356 |
0,362 |
0,366 |
0,368 |
0,370 |
0,372 |
0,376 |
0,378 |
0,383 |
1,0 |
0,608 |
0,626 |
0,636 |
0,644 |
0,650 |
0,654 |
0,656 |
0,666 |
0,670 |
0,683 |
1,5 |
0,770 |
0,792 |
0,806 |
0,816 |
0,832 |
0,828 |
0,832 |
0,846 |
0,850 |
0,865 |
2,0 |
0,860 |
0,884 |
0,908 |
0,908 |
0,914 |
0,920 |
0,924 |
0,936 |
0,940 |
0,954 |
2,5 |
0,933 |
0,946 |
0,955 |
0,959 |
0,963 |
0,966 |
0,968 |
0,975 |
0,978 |
0,988 |
3,0 |
0,942 |
0,960 |
0,970 |
0,976 |
0,980 |
0,938 |
0,984 |
0,992 |
0,992 |
0,997 |
Независимо от вида выборки, на заключительном этапе определяются доверительные интервалы, в которых может находиться генеральная средняя (для количественных признаков) или генеральная доля (для качественных признаков). Доверительные интервалы – это область тех значений генеральной средней, выход за пределы которой имеет весьма малую вероятность. Доверительные интервалы определяются по формулам:
для средней:
;для доли:
;для малой выборки:
Решение типовых задач
Пример 1. При проверке веса импортируемого груза на таможне методом случайно повторной выборки было отобрано 200 изделий и в результате был установлен средний вес изделия 30 грамм при среднем квадратическом отклонении 4 грамма. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний вес изделий в генеральной совокупности.
Рассчитаем предельную ошибку выборки. При Р=0.997, t=3:
Определим пределы генеральной средней:
Следовательно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний вес изделий в генеральной совокупности находится в пределах от 29,16 до 30,84 грамм.
Пример 2. С целью определения доли сотрудников коммерческих банков области в возрасте старше 40 лет, предлагается организовать типическую выборку пропорционально численности сотрудников мужского и женского пола с механическим отбором внутри групп. Общее число сотрудников банков составляет 12000 человек, в том числе 7000 мужчин и 5000 женщин. На основании предыдущих обследований известно, что средняя из внутригрупповых дисперсий составляет 1600. Определите необходимый объем выборки при вероятности 0,997 и ошибке 5%.
Рассчитаем общую численность типической выборки:
Вычислим объем отдельных типических групп:
Таким образом, необходимый объем выборочной совокупности сотрудников коммерческих банков составляет 550 человек, в том числе 319 мужчин и 231 женщин.
Пример 3. В акционерном обществе 200 бригад рабочих. Планируется проведение выборочного обследования с целью определения удельного веса рабочих, имеющих профессиональные заболевания. Известно, что межсерийная дисперсия доли равна 225. С вероятностью 0,954 определите необходимое количество бригад для обследования рабочих, если ошибка выборки не должна превышать 5%.
Рассчитаем необходимое количество бригад при условии, что при вероятности 0,954, t=2:
Таким образом, необходимый объем выборочной совокупности составит 30 бригад.