1.10.4 Основные свойства отображений

Теорема. Прообраз суммы двух множеств равен сумме их прообразов

1.45

Доказательство.

Пусть . Это значит, что f(x)АВ, т.е. (x)А или (x)В. Но тогда х принадлежит по крайней мере одному из множеств или , т.е. .

Обратно: Если , то х принадлежит по крайней мере хотя бы одному из множеств А или В, следовательно, f(x)АВ, но тогда .

Теорема. Прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов.

1.46

Доказательство.

Если , то , т.е. и . Следовательно, и , т.е. .

Обратно, если , т.е. и , то и . Иначе говоря, . Следовательно

Теорема. Образ суммы двух множеств равен сумме их образов.

1.47

Доказательство.

Если , то это означает, что у=f(x), где х принадлежит, по крайней мере, одному из множеств А и В. Следовательно, у=f(x) .

Обратно, если у , то y=f(x), где х принадлежит по крайней мере одному из множеств А и В, т.е. , и, следовательно, y=f(x) .

1.11 Функция

Рассмотрим некоторое отображение f: XY. Как уже говорилось, это отображение называется функцией, если оно однозначно, т.е. если для любых пар (х₁, у₁₎f и (х₂, у₂)f из х₁=х₂ следует у₁=у₂.

Y

y₁

y₂

X

x₂ x₁

Рис. 1.10

Однозначное соответствие, определенное формулой f: XY называют функцией с вещественными значениями, если YR.¹

Пример. Из пункта А в пункт В передача единицы сообщения по телефону, телеграфу, телемонитору, телефаксу стоит соответственно a, b, c, d. Тогда стоимость передачи сообщения можно представить как функцию от вида передачи. Для этого рассмотрим множества:

Х={телефон, телеграф, телефакс, телемонитор};

Y={a, b, c, d}.

Функция f: XY, получаемая из условий, может быть записана в виде: f={(телефон, а); (телеграф, b); (телефакс, с); (телемонитор, d)}.

Значение у в любой из пар (х, у)f называют функцией от данного х и записывают в виде: у=f(x). Такая запись позволяет ввести следующее формальное определение:

f={(x, y)XY | y=f(x)} 1.48

Таким образом, символ f используют при определении функции в двух смыслах:

• f является множеством, элементами которого будут пары (х, у), участвующие в соответствии;

• f(x) является обозначением для yY, соответствующего данному хХ.

1.11.1 Способы задания функции

Формальное определение позволяет определить способы задания функции.

1. Перечисление всех пар (х, у), составляющих множество f. Применим, когда Х – конечное множество. Для наглядности пары (х, у) располагают в виде таблицы (Табличный метод).

2. Во многих случаях Х и Y представляют собой множества вещественных или комплексных чисел. В таких случаях под f(x) понимается формула, т.е. выражение, которое надо произвести над хХ, чтобы получить у.

Пример. Пусть Х=Y=R и f={(x, y)R² | y=Sin x² }.

Тогда f(x)=Sin x².

Пусть Х₁, Х₂, …Х_n –попарно непересекающиеся подмножества Х. Если через f_I(x), обозначить формулу, определяющую у при хХ_I, то имеем:

3. Если Х и Y –множества вещественных чисел, то элементы (х, у)f можно изобразить в виде точек на плоскости R². Полная совокупность таких точек будет представлять собой график функции f(x).

Если в выражении f: XY X=UV, то имеет место функция 2-х переменных u и v, обозначаемой через f(u, v), где uU, vV.

Формальное определение функции двух вещественных переменных будет следующим:

1.49

Аналогично определяют функцию от 3-х и большего числа переменных.