1.11.2 Сужение функции

Имеем f: XY. А – произвольное множество. Сужением функции f на множество А называют функцию f_A, содержащую все те и только те пары (х, у)f, в которых хА, а значит (х, у)АY. Следовательно:

1.50

Операцию сужения функции часто используют для табличного задания функций с  областью определения Х.

1.11.3 Обратная функция

Понятие обратной функции применимо для такого отображения f: XY, которое:

а. является однозначным, т.е. для любых (х₁, у₁₎f и (х₂, у₂)f из х₁=х₂ следует у₁=у₂.

b. является взаимно однозначным, т.е. из х₁х₂ следует у₁у₂.

При выполнении этих условий отображение f: XY является однозначным, т.е. определяет функцию у=f(x). Обратное отображение также является однозначным и определяет функцию х= , называемую обратной по отношению к функции у=f(x).

1.11.4 Функция времени

В основе понятия функции времени лежит множество ТR с элементами t, называемое множеством моментов времени. Время обладает направленностью. Если и T, и < , то момент предшествует моменту , т.е. Т – упорядоченное множество.

Функция времени определяет отображение f множества моментов времени Т на множество вещественных чисел R: f: ТR. Элементами f будут пары (t, x), обозначаемые x(t), где t T, хR. Каждая такая пара определяет значение функции в момент t и называется событием или мгновенным значением функции. Дальнейшее уточнение функций времени связано с уточнением ее области определения, т.е. вида множества Т. Если T=R, т.е. t принимает любые вещественные значения от - до +, то x(t) называют функцией с непрерывным временем. Например, .

В практике часто используют сужение x(t) на ограниченный интервал времени t₁<tt₂, который обычно считают полузакрытым и обозначают (t₁, t₂]. Полузакрытые интервалы удобны тем, что допускают последовательное соглашение друг с другом.

Сужение функции x(t), заданной на интервале на интервал (t₁, t₂] называют отрезком функции x(t) и обозначают , т.е. .

Если множество Т представляет собой множество натуральных чисел, то говорят о функции с дискретным временем. В этом случае элементы множества Т обозначают через n, так что пара (n, x), обозначаемое также x[n] или x_n определяет значение функции в момент n.

1.11.5 Понятие функционала

Для практики важным является случай, когда множество Х в отображении f: XY представляет собой множество функций, а множество Y – множество вещественных чисел. Это приводит к понятию функционала.

Рассмотрим пример:

Пусть имеется линия y=f(x), соединяющая две точки А и В по которой скатывается шарик. t – время, за которое шарик скатывается от точки А до точки В. Это время зависит от характера линии АВ, т.е. от вида функции f(x).

Y

A

0 X

B

Рис.1.11

Если F(x) – множество различных функций АВ, Т – множество вещественных чисел t, определяющих время движения от А к В, то зависимость времени движения от вида функции будет записана как отображение :

1.51

Элементами множества J будут пары (f(x), t), в которых f(x)F(x), tT. В этом случае говорят, что вещественное число tT представляет собой функционал J от функции f(x)F(x) и записывают в виде:

t=J[f(x)] 1.52

В задачах управления функционалы используются как критерии качества управления. Так, в рассматриваемой системе время перемещения шарика из точки А в точку В можно трактовать как критерий качества выбранной функции f(x). При этом говорят об оптимальном управлении как о таком, при котором соответствующий функционал (критерий качества) обращается в min, т.е. выполняется условие

1.53