2. Подмножество

Множество А является подмножеством множества В, если любой элемент множества А принадлежит и множеству В.

Например, множество студентов группы является подмножеством студентов факультета; множество четных целых чисел может рассматриваться как подмножество множества натуральных чисел.

Для определения подмножества в теории множеств используются символы:

•  - символ, называемый квантором, и означающий “ любой”, “каков бы ни был”, “для всех х”, “для всякого х”;

•  - символ, называемый квантором, и означающий “существует такой х, что”;

•  (или ) символ следствия (импликации), означающий “влечет за собой”;

•  - символ эквивалентности, означающий “тогда и только тогда”, “то же самое”/

Тогда определение подмножества, которое может быть сформулировано в виде: для любого х утверждение “х принадлежит А“ влечет за собой утверждение “х принадлежит В” запишется так:

1.1

Более краткой записью выражение “A является подмножеством B” будет запись

1.2

(Читается “В содержит А”).

Используемый здесь символ  означает включение.

Если В содержит и другие элементы кроме элементов из А, то используют символ строгого включения : А  В.

Связь между символами дается выражениями:

1.3

Свойства подмножеств:

• АА – рефлексивность; 1.4

• [AB и BC]  AC – транзитивность. 1.5

Для любого множества М   М.

Если АВ и ВА, то множества А и В эквивалентны: А=В, т.е. все эле-менты А являются элементами В, а все элементы В являются элементами А.

Т.е. А=В  ( )

Определение. Множество всех подмножеств данного множества А называют степенью множества А (или булеаном) и обозначают (А)¹.

Формально Р(А)={B: BA}. В частности заметим, что поскольку   А и А  А, то   Р(А); А  Р(А).

Пример. Пусть А={a,b,c}. Тогда Р(А)={ , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, A}.

2. Операции над множествами

1. Предварительные замечания

Над множествами можно производить действия, которые во многом напоминают действия сложения и умножения в элементарной алгебре. Если а и b некоторые числа, то законы элементарной алгебры можно записать как:

1. a+b = b+a; ab=ba - коммутативный (переместительный) закон;

2. - ассоциативный (сочетательный) закон;

3. (a+b)c=ac+bc - дистрибутивный (распределительный) закон.

Заметим, что в ассоциативном и коммутативном законах можно заменить действие сложения умножением, а действие умножения – сложением. При этом получим другой закон, который будет справедлив как и первый. Однако в дистрибутивном законе подобной симметрии нет. Если в этом законе заменить сложение умножением, а умножение сложением, то придем к абсурду

.

Всегда ли это так? Оказывается существует алгебра, а именно алгебра множеств, в которой все три закона симметричны относительно действий сложения и умножения.