Лекция 10. Многомерные случайные величины

До сих пор мы рассматривали случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом (одномерные случайные величины). Например, число очков, которое может выпасть при бросании игральной кости (дискретная одномерная случайная величина) или расстояние от орудия до места падения снаряда (непрерывная одномерная случайная величина).

Часто приходится иметь дело с величинами, возможные значения которых определяются двумя или более числами. Такие величины называются n – мерными случайными величинами; n – мерную случайную величину можно рассматривать как систему n случайных величин. В данном контексте используется также термин многомерный случайный вектор , где каждая из величин называется составляющей (компонентой). Аналогично одномерным случайным величинам различают дискретные многомерные случайные величины (их составляющие дискретны) и непрерывные многомерные случайные величины, составляющие которых непрерывны.

Пример. Станок штампует стальные плитки. Если контролируемыми размерами являются длина X, ширина Y и высота Z плитки, то мы имеем трехмерную случайную величину (X,Y,Z).

Остановимся более подробно на двумерных случайных величинах.

Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел , где и – возможные значения величин и , соответственно, и вероятностей их совместного появления .

Двумерная дискретная случайная величина задается в виде таблицы распределения вида:

где первая строка таблицы указывает возможные значения составляющей , а первый столбец – все возможные значения составляющей .

Так как события ( ; ) образуют полную группу, то

.

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из ее составляющих. Так, например, вероятность того, что примет значение , равна

.

Совместная функция распределения двух случайных величин

Функция , определяющая для каждой пары чисел вероятность того, что примет значение меньшее , и при этом примет значение меньшее , называется совместной функцией распределения двух случайных величин

= .

Геометрически это равенство можно истолковать так: – это вероятность того, что случайная точка ( ) попадет в бесконечный квадрант с вершиной ( ), расположенный левее и ниже этой вершины.

Свойства совместной функции распределения двух случайных величин

1. Значения совместной функции распределения удовлетворяют неравенству:

.

2. – неубывающая функция по каждому аргументу, т.е.

, если ;

, если .

Совместная функция распределения имеет следующие предельные значения:

; ;

; .

3. При или совместная функция распределения системы становится функцией распределения одной из составляющих:

;