Независимость событий.

Если при наступлении события вероятность события не меняется, то события и называются независимыми.

Теорема: Вероятность совместного появления двух независимых событий и (произведения и ) равна произведению вероятностей этих событий.

Действительно, так как события и независимы, то . В этом случае формула вероятности произведения событий и принимает вид .

События называются попарно независимыми, если независимы любые два из них.

События называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Теорема: Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий.

.

Проиллюстрируем различие в применении формул вероятности произведения событий для зависимых и независимых событий на примерах

Пример 1. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,85, вторым 0,8. Орудия сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в цель попал хотя бы один снаряд ?

Решение: P(A+B) = P(A) +P(B) –P(AB) Так как выстрелы независимы, то

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0.97

Пример 2. В урне находится 2 красных и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара красные.

Решение: 1 случай. Событие А – появление красного шара при первом вынимании, событие В – при втором. Событие С – появление двух красных шаров.

P(С) = P(A)*P(B/A) = (2/6)*(1/5) = 1/15

2 случай. Первый вынутый шар возвращается в корзину

P(С) = P(A)*P(B) = (2/6)*(2/6) = 1/9

Формула полной вероятности.

Пусть событие может произойти только с одним из несовместных событий , образующих полную группу. Например, в магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий и в разном количестве. Вероятность выпуска некачественной продукции на этих предприятиях различна. Случайным образом отбирается одно из изделий. Требуется определить вероятность того, что это изделие некачественное (событие ). Здесь события – это выбор изделия из продукции соответствующего предприятия.

В этом случае вероятность события можно рассматривать как сумму произведений событий .

По теореме сложения вероятностей несовместных событий получаем . Используя теорему умножения вероятностей, находим

.

Полученная формула называется формулой полной вероятности.

Формула Байеса

Пусть событие происходит одновременно с одним из несовместных событий , вероятности которых ( ) известны до опыта (вероятности априори). Производится опыт, в результате которого зарегистрировано появление события , причем известно, что это событие имело определенные условные вероятности ( ). Требуется найти вероятности событий если известно, что событие произошло (вероятности апостериори).

Задача состоит в том, что, имея новую информацию (событие A произошло), нужно переоценить вероятности событий .

На основании теоремы о вероятности произведения двух событий

,

откуда

или

.

Полученная формула носит название формулы Байеса.