- •Лекция 1. Предмет теории вероятностей и математической статистики и их роль в экономике и менеджменте
- •Лекция 2. Аксиоматика теории вероятности Понятие случайного эксперимента.
- •Пространство элементарных событий.
- •Совместные и несовместные события.
- •Операции над событиями (сумма, разность, произведение).
- •Свойства операций над событиями.
- •Алгебра и сигма-алгебра событий.
- •Лекция 3. Методы определения вероятностей событий
- •Классическое определение вероятности события. Случаи равновероятных исходов.
- •Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов.
- •Геометрические вероятности.
- •Аксиоматическое построение теории вероятностей.
- •Вероятностное пространство
- •Лекция 4. Основные теоремы теории вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса Полная группа событий.
- •Условная вероятность.
- •Формула умножения вероятностей.
- •Формула сложения вероятностей.
- •Независимость событий.
- •Формула полной вероятности.
- •Формула Байеса
- •Основные понятия комбинаторики.
- •Правила суммы и произведения.
- •Лекция 5. Схема независимых испытаний Бернулли
- •Случай непостоянной вероятности появления события в опытах
- •Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли.
- •Предельные теоремы для схемы Бернулли.
- •Теорема Пуассона.
- •Понятие потока событий.
- •Локальная теорема Муавра –Лапласа.
- •Интегральная (глобальная) теорема Муавра – Лапласа.
- •Лекция 6. Виды случайных величин и расчет вероятностей событий с использованием функций и плотностей распределения
- •Закон распределения дискретной случайной величины.
- •Функция распределения случайной величины и ее свойства.
- •Свойства функции распределения
- •Плотность распределения вероятностей.
- •Лекция 7. Основные параметры распределений одномерных случайных величин.
- •Математическое ожидание случайной величины
- •Свойства математического ожидания:
- •Дисперсия случайной величины и ее свойства.
- •Среднее квадратическое отклонение.
- •Лекция 8. Основные законы распределений случайных величин
- •Биномиальное распределение, его математическое ожидание и дисперсия.
- •Распределение Пуассона.
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение (урновая схема)
- •Равномерное распределение.
- •Показательное распределение.
- •Лекция 9. Нормальное распределение и его свойства
- •Свойства функции Гаусса.
- •Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал.
- •Функция Лапласа и ее свойства.
- •О тклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм».
- •Лекция 10. Многомерные случайные величины
- •Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины
- •Совместная функция распределения двух случайных величин
- •Свойства совместной функции распределения двух случайных величин
- •Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
- •Свойства двумерной плотности вероятности
- •Независимые случайные величины
- •Для независимых случайных величин справедливы соотношения
- •Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •Корреляционный момент
- •Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Лекция 11. Предельные теоремы теории вероятностей.
- •Неравенство Чебышева
- •Теорема Чебышева.
- •Центральная предельная теорема.
- •Лекция 12. Выборочный метод анализа свойств генеральной совокупности.
- •Выборочный метод и его основные понятия. Случайная выборка и ее объем
- •Способы отбора
- •Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин.
- •Полигон и гистограмма
- •Лекция 13. Понятие о статистических оценках случайных величин Эмпирическая функция распределения
- •Важнейшие свойства статистических оценок
- •Надежность и доверительный интервал.
- •Лекция 14. Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
- •. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения
- •Лекция 15. Проверка статистических гипотез.
- •Статистический критерий
- •Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки.
- •Критерий согласия Пирсона о виде распределения.
- •Лекция 16. (уир) Понятие о регрессионном анализе
- •Понятие о регрессионном анализе
- •Выборочные уравнения регрессии.
- •Линейная регрессия
- •Множественная линейная регрессия
- •Нелинейная регрессия
- •Логарифмическая модель.
- •Обратная модель.
- •Степенная модель.
- •Показательная модель.
- •Лекция 17 (уир). Понятие о корреляционном анализе.
- •А. Парная корреляция
- •Б. Множественная корреляция
- •Лекция 18 (уир). Цепи Маркова с дискретным временем
- •Однородные цепи Маркова
- •Переходные вероятности. Матрица перехода.
- •Равенство Маркова
- •Лекция 19 (уир). Цепи Маркова с непрерывным временем.
- •Уравнения Колмогорова
- •Финальные вероятности состояний системы
- •Лекция 20 (уир). Системы массового обслуживания.
- •Расчет характеристик систем массового обслуживания Одноканальные модели а. Одноканальная модель с отказами
- •Б. Одноканальная модель с ожиданием
- •Многоканальные модели
Операции над событиями (сумма, разность, произведение).
С каждым испытанием связан ряд событий, которые, вообще говоря, могут появляться одновременно. Например, при бросании игральной кости событие есть выпадение двойки, а событие – выпадение четного числа очков. Очевидно, что эти события не исключают друг друга.
Пусть все возможные результаты испытания осуществляются в ряде единственно возможных частных случаев, взаимно исключающих друг друга. Тогда
каждый исход испытания представляется одним и только одним элементарным событием;
всякое событие , связанное с этим испытанием, есть множество конечного или бесконечного числа элементарных событий;
событие происходит тогда и только тогда, когда реализуется одно из элементарных событий, входящих в это множество.
Произвольное, но фиксированное пространство элементарных событий , можно представить в виде некоторой области на плоскости. При этом элементарные события – это точки плоскости, лежащие внутри . Поскольку событие отождествляется с множеством, то над событиями можно совершать все операции, выполнимые над множествами. По аналогии с теорией множеств строится алгебра событий. При этом могут быть определены следующие операции и сотношения между событиями:
AB (отношение включения множеств: множество А является подмножеством множества В) – событие A влечет за собой событие В. Иначе говоря, событие В происходит всякий раз, как происходит событие A. Пример - выпадение двойки влечет за собой выпадение четного числа очков.
(отношение эквивалентности множеств) – событие тождественно или эквивалентно событию . Это возможно в том и только в том случае, когда и одновременно , т.е. каждое из них происходит всякий раз, когда происходит другое. Пример – событие А – поломка прибора, событие В – поломка хотя бы одного из блоков (деталей) прибора.
( ) – сумма событий. Это событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий или (логическое "или"). В общем случае, под суммой нескольких событий понимается событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Пример – цель поражена первым орудием, вторым или обоими одновременно.
( ) – произведение событий. Это событие, состоящее в совместном осуществлении событий и (логическое "и"). В общем случае, под произведением нескольких событий понимается событие, состоящее в одновременном осуществлении всех этих событий. Таким образом, события и несовместны, если произведение их есть событие невозможное, т.е. . Пример – событие А – вынимание из колоды карты бубновой масти, событие В – вынимание туза, тогда - появление бубнового туза.
– разность событий. Это событие, состоящее из исходов, входящих в , но не входящих в . Оно заключается в том, что происходит событие , но при этом не происходит событие . Пример – А – сдача экзаменационной сессии, В – получение степени, тогда А-В – сдача сессии с недостаточно высоким для получения стипендии результатом.
Противоположным (дополнительным) для события (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, которые не входят в .
Наступление события означает просто что событие не наступило.
Часто оказывается полезной геометрическая интерпретация операций над событиями. Графическая иллюстрация операций называется диаграммами Венна.