10. Решение слу матричным методом.

В общем виде будем рассматривать систему m линейных уравнений с n переменными. В общем виде:

Эту же систему можно записать в матричном виде:

А*Х=В , где -- столбец переменных

А*Х=О – однородная СЛУ, где . Очевидно, такая система имеет хотя бы одно тривиальное решение.

-- множество решений СЛУ. Если существует хотя бы одно решение, то СЛУ называется совместной. Иначе это несовместная СЛУ.

Решение СЛУ матричным методом.

Пусть А – квадратная матрица. Это означает, что det(A)≠0. Число уравнений и число переменных совпадает. В процессе элементарных преобразований расширенная матрица [A|B]->[C|D]. Используя теоремы об элементарных преобразованиях матрицы, получаем:

имеет единственное решение.

А*Х=В А^-1*А*Х=А^-1*В

Е*Х=А^-1*В

Х=А^-1*В

Прим.:

11. Решение слу методом Крамера.

В общем виде будем рассматривать систему m линейных уравнений с n переменными. В общем виде:

Эту же систему можно записать в матричном виде:

А*Х=В , где -- столбец переменных

А*Х=О – однородная СЛУ, где . Очевидно, такая система имеет хотя бы одно тривиальное решение.

-- множество решений СЛУ. Если существует хотя бы одно решение, то СЛУ называется совместной. Иначе это несовместная СЛУ.

Решение СЛУ методом Крамера.

] число уравнений = числу переменных

А – невырожденная матрица det(A)≠0

Тогда

х₁=

х₂=

х_n= , где ∆=|A| ‑­главный определитель­, ∆_n – определитель для переменной х_n. ∆_n – определитель матрицы, который получен заменой n-го столбца на столбец свободных членов. Это метод Крамера решения СЛУ.

Вывод:

хk: Ak= Разложим этот определитель по k-му столбцу.

∆_k=

Решаем систему матричным методом А*Х=В Х=А^-1*В.

Используем структуру обратной матрицы и правило умножения матриц.

х_k= х_k= , при k=1, 2, …, n.

12. Определение векторного пространства. Линейные операции над векторами. Основные свойства.

Rⁿ – n-мерное пространство

(х₁, х₂, …, х_n) – точки из пространства Rⁿ

R – множество действительных чисел.

R² – плоскость

R³ – 3-х мерное пространство

-- расстояние между двумя точками. Для 2-х мерного пространства это обычная теорема Пифагора.

Определение вектора и векторного пространства:

А, В определяют перемещение в пространстве из точки А в точку В, которые называются векторами. Эти перемещения(векторы) определяются с точностью до параллельного переноса, т.е. равенство между векторами задается следующей формулой:

Общий вид таких векторов записывается в виде , где а₁;а₂;…;а_n – координаты вектора или проекции вектора а на оси х₁;х₂;…;х_n.

Множество всех векторов называют векторным пространством.

Замечание:

Это определение будет вектор как отрезок и введенное равенство определяют направляющий отрезок с точностью до параллельного переноса.

А В=CD=PQ

a={a1; a2; …; an}

a определяется как перенос(параллельный) пространства, т.е. как отображение пространства на себя.

Мы получаем: .

Для нас вектор – перемещение из точки в точку В.

Линейные свойства векторов:

1.

2.

3. -- нулевой вектор

Из этих определений следует правило вычитания векторов:

4.

5. -- определение противоположного вектора.

Нетрудно доказать следующие свойства векторов:

6. а+0=0+а=а

a+b=b+a – переместительный закон сложения

(a+b)+c=a+(b+c) – ассоциативность сложения

λ(a+b)= λ*a+ λ*b и т.д.

Из определения сложения и вычитания векторов получаем следующие правила: параллелограмма, треугольника и многоугольника:

П равило параллелограмма a+b

П равило треугольника a+b

Правило многоугольника e=a+b+c+d

Правило многоугольника:

Направляем векторы один за другим, соединяя начало первого с концом последнего.

b +(a-b)=a

a +(b-a)=b

Нетрудно проверить все эти свойства на плоскости и в пространстве.

Линейная зависимость и независимость векторов.

λ₁а₁+ λ₂а₂+…+ λ_nа_n – линейная комбинация векторов а₁, а₂, …, а_n.

Если λ₁а₁+ λ₂а₂+…+ λ_nа_n=0 и хотя бы одно из чисел λ₁, λ₂, ..., λ_n не равно 0, то такую линейную комбинацию называют нетривиальной линейной комбинацией.

Линейная зависимость векторов.

Если существует нетривиальная линейная комбинация λ₁а₁+ λ₂а₂+…+ λ_nа_n, то векторы а₁, а₂, …, а_n называют линейно зависимыми. В этом случае один из векторов является линейной комбинацией других векторов.

Пусть λ_n≠0 =>

Линейная независимость векторов.

а₁, а₂, …, а_n называются линейно независимыми, если не существует нетривиальной линейной комбинации этих векторов. Для любой линейной комбинации получаем:

λ₁а₁+ λ₂а₂+…+ λ_nа_n=0 => .

Линейно зависимые вектора называются компланарными.

λ₁а₁+ λ₂а₂+λ₃а₃=0

(1) а₃=с₁а₁+с₂а₂(λ₃≠0)

Если эти векторы отложить один за другим, то получится замкнутая фигура.

Поэтому компланарные векторы параллельны одной плоскости. В условии (1) содержится условие компланарности векторов.

Два линейно зависимых вектора называют коллинеарными.

λ₁а₁+ λ₂а₂ =0 – нетривиальная комбинация

b=λа – условие коллинеарности векторов.