13. Базис векторного пространства. Теорема о единственности разложения вектора о базису.

Линейная зависимость и независимость векторов.

λ₁а₁+ λ₂а₂+…+ λ_nа_n – линейная комбинация векторов а₁, а₂, …, а_n.

Если λ₁а₁+ λ₂а₂+…+ λ_nа_n=0 и хотя бы одно из чисел λ₁, λ₂, ..., λ_n не равно 0, то такую линейную комбинацию называют нетривиальной линейной комбинацией.

Линейная зависимость векторов.

Если существует нетривиальная линейная комбинация λ₁а₁+ λ₂а₂+…+ λ_nа_n, то векторы а₁, а₂, …, а_n называют линейно зависимыми. В этом случае один из векторов является линейной комбинацией других векторов.

Пусть λ_n≠0 =>

Линейная независимость векторов.

а₁, а₂, …, а_n называются линейно независимыми, если не существует нетривиальной линейной комбинации этих векторов. Для любой линейной комбинации получаем:

λ₁а₁+ λ₂а₂+…+ λ_nа_n=0 => .

Линейно зависимые вектора называются компланарными.

λ₁а₁+ λ₂а₂+λ₃а₃=0

(1) а₃=с₁а₁+с₂а₂(λ₃≠0)

Если эти векторы отложить один за другим, то получится замкнутая фигура.

Поэтому компланарные векторы параллельны одной плоскости. В условии (1) содержится условие компланарности векторов.

Два линейно зависимых вектора называют коллинеарными.

λ₁а₁+ λ₂а₂ =0 – нетривиальная комбинация

b=λа – условие коллинеарности векторов.

Базис векторного пространства:

а1, а2, …, аn.

В n-мерном пространстве линейно независимые вектора образуют базис векторного пространства. Это понятие базиса.

Теорема о разложении вектора в данном базисе.

Если а₁ а₂ … а_n – базис n-мерного векторного пространства.

То найдутся такие числа х₁ х₂ … х_n, что произвольный вектор b равен х₁а₁+х₂а₂+…+х_na_n. Это разложение данного вектора b в данном базисе. х₁ х₂ … х_n – координаты вектора b в данном базисе.

Вывод:

d=x₁a₁+x₂a₂+…+x_na_n. Существуют ли решения {x₁, x₂, …, x_n}. Получаем следующую систему уравнений:

Эта система имеет решения, т.к. главный определитель ∆ является определителем матрицы |A|^T, где А – матрица, состоящая из координат векторов.

an={a_n1, a_n2, …, a_nn}

Если определитель равен 0, то в матрице А существует линейная зависимость строк, а это означает существование линейной зависимости между векторами базиса, что противоречиво.

Теорема о единственности разложения в данном базисе.

Если a=x₁c₁+x₂c₂+…+x_nc_n и a=y₁c₁+y₂c₂+…+y_nc_n. с₁, с₂, …, с_n – базис векторного пространства.

То х₁=у₁ х₂=у₂ … х_n=y_n.

Другими словами разложение в данном базисе является единственным.

Вывод:

Пусть мы имеем 2 разложения в данном базисе с₁…с_n. Вычтем, используя свойство векторов.

a-a=(x₁-y₁)*c₁+(x₂-y₂)*c₂+…+(x_n-y_n)*c_n=0

Векторы базиса являются линейно независимы, поэтому эта комбинация является тривиальной, т.е. х₁-у₁=0 и х₂-у₂=0 … x_n-y_n=0.

14. Скалярное произведение векторов. Основные свойства

Характеристикой а и b, которая остается инвариантной при любых перемещениях и поворотах пространства на произвольный угол, является скалярное произведение векторов, определяемое по формуле:

а*b=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n или

Скалярное произведение векторов – это сумма произведений одноименных координат векторов. Скалярное произведение – число.

Основные свойства скалярного произведения:

1. a*b=b*a – коммутативность

2. a*(b+c)=a*b+a*c – дистрибутивность

3. (λ*а)*b=(λ*b)*a= λ(a*b)

4. а*а=а²=|a|²

Вывод:

Все эти свойства почти очевидны. Например, коммутативность сразу следует из определения скалярного произведения.

Докажем 2.