- •1. Определитель квадратной матрицы и его геометрический смысл.
- •2. Вычисление определителей
- •3. Линейные свойства определителей
- •4. Определитель матрицы с линейно зависимыми строками
- •5. Матрица. Линейные операции над матрицами. Транспонирование матрицы.
- •6. Умножение матриц. Основные свойства
- •7. Обратная матрица. Теорема об обратной матрице
- •8. Ранг матрицы. Основные свойства.
- •9. Решение слу методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.
- •10. Решение слу матричным методом.
- •11. Решение слу методом Крамера.
- •12. Определение векторного пространства. Линейные операции над векторами. Основные свойства.
- •13. Базис векторного пространства. Теорема о единственности разложения вектора о базису.
- •14. Скалярное произведение векторов. Основные свойства
- •15. Косинус угла между векторами. Орт и модуль вектора. Направляющие косинусы вектора.
- •16. Векторное произведение векторов: определение и геометрический смысл
- •17. Основные свойства векторного произведения
- •18. Смешанное произведение. Основные свойства и геометрический смысл
- •19. Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве
- •20. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
- •21. Уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки.
- •22. Параметрическое уравнение плоскости
- •23. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор плоскости.
- •24. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние и отклонение точки от плоскости.
- •25. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •26. Деление отрезка в данном отношении
- •27. Уравнение прямой на плоскости
- •28. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Отклонение точки от прямой.
- •29. Угол между прямыми на плоскости условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •30. Эллипс: каноническое уравнение и геометрические свойства
- •31. Гипербола: каноническое уравнение и геометрические свойства
- •32. Парабола: каноническое уравнение и геометрические свойства
15. Косинус угла между векторами. Орт и модуль вектора. Направляющие косинусы вектора.
Косинус угла между векторами.
φ = -- определяется как угол между прямыми ОА и ОВ.
Косинус угла в пространстве Rn определяется по формуле:
Покажем, что определение косинуса угла совпадает с обычным косинусом φ на плоскости и в трехмерном пространстве.
a 0={1;0}
b0={cosφ; sinφ}
a0*b0=cosφ+0*sinφ=cosφ
a0*b0=cosφ
Для ненулевых векторов из свойств СПР получаем:
φ – тупой a*b<0
φ – острый a*b>0
φ = 90о a*b=0
φ = a*b=0 – Это условие перпендикулярности векторов.
Направляющие косинусы вектора.
Пусть αk – угол между лучом (ОА) и координатной осью xk (k=1, 2, …, n)
αk= =
Нетрудно доказать для единичного вектора следующую формулу:
cosαk…cosαn – направляющие косинусы вектора.
Орт и модуль вектора.
Модуль вектора(длина вектора):
Если вектор определен 2 точками, то модуль – длина между этими точками:
Если вектор разделить на модуль, то получаем единичный вектор, который называют ортом вектора. Этот вектор задает направление и определяется по формуле.
Это направляющие косинусы вектора. α1, α2, …, αn – углы, образованные а с осями координат. Отсюда получаем свойства для единичных векторов:
16. Векторное произведение векторов: определение и геометрический смысл
Определим векторное произведение векторов в 3-х мерном пространстве, которое будет определять вращение в этом пространстве. Векторное произведение:
Ч тобы получить координаты нового вектора, надо разложить его по первой строке: .
Выясним геометрический смысл этого произведения. Берем координаты следующим образом:
| a|=a
|b|=b
φ=a^b
a={a;0;0}
b={b*cos φ;b*sin φ;0}
Найдем векторное произведение .
.
Единичный вектор перпендикулярный плоскости параллелограмма. С конца этого вектора видим вращение а к b по углу φ против часовой стрелки.
Модуль векторного произведения – площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b.
Физический смысл векторного произведения:
Пусть О – точка вращения твердого тела
А – точка, где к телу приложена сила F.
Тогда момент этой силы можно рассчитать по формуле:
M=OA x F
ОА – плечо силы
|M|=|OA|*sinφ*|F|.
17. Основные свойства векторного произведения
1. -- антикоммутативность.
Следует из определения векторного произведения, т.к. переставляя множители местами, переставляем строки в определителе.
2. -- дистрибутивность
Вывод:
3. , где λ R.
18. Смешанное произведение. Основные свойства и геометрический смысл
В 3-х мерном пространстве смешанное произведение 3-х векторов:
( 1) Разложим определитель по 1-й строке:
Иногда это свойство принимают в качестве определения. Тогда формулу (1) надо доказать. Теперь нетрудно показать геометрический смысл смешанного произведения.
, где V – объем параллелепипеда. Покажем это:
h – высота параллелепипеда.
Определение ориентации в пространстве:
если , то векторы образуют правую тройку, при этом говорят, что они имеют положительную ориентацию.
если , то векторы образуют левую тройку, при этом говорят, что они имеют отрицательную ориентацию.
Рассмотрим ориентацию стандартного базиса:
Стандартный базис имеет положительную ориентацию.
Если вектора линейно зависимы, то они называются компланарными. Условие компланарности векторов:
Если в смешанном произведении 2 вектора переставить местами(рядом стоящие), то знак изменится.
При циклической перестановке знак не меняется:
Выбирая 3 последовательных множителя они образуют циклическую перестановку.