12,13Схема независимых испытаний Бернулли. Полиномиальное распределение.

Предположим, что в результате испытания возможны два исхода: «У» и «Н», которые мы называем успехом и неудачей. , , p+q=1. Предположим, что мы производим независимо друг от друга n таких испытаний.

Опр. Последовательность n испытаний называется испытаниями Бернулли, если эти испытания независимы, а в каждом из них возможны два исхода, причем вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию.

Элементарным исходом будет являться: (w₁,w₂,…,w_n), . Всего таких исходов 2ⁿ. . (1) Формула (1) показывает, что события независимы. Обозначим через µ число успехов в n испытаниях Бернулли. — вероятность того, что в n испытаниях произошло k успехов. Рассмотрим событие . По теореме сложения получим

Таким образом, получим —формула Бернулли.

33,Дисперсия (дискретной ) случайной величины.

Опр.: Пусть закон распределения случ. величины Х имеет вид:

Х:

xi	x1	x2	…	xk
pi	p1	p2	…	pk

Дисперсией D(X)- этой случ. величины называется число, вычисл. по ф-ле:

Неформально: Дисперсия случ. величины яв-ся мерой разброса значений этой случ. величины около её мат. ожидания.

Св-ва дисперсии: 1)D(С)=0, С- пост. случ. величина.

2)D(X)=в квадратеD(X).

3)Пусть случ. величины X иY-независимы =>D(XY)=D(X)+D(Y). 4)D(X)=M(X в квадрате) – М в квадрате(Х).

5)Пусть случ. величины Х1,Х2,…Хn- независимы и D(X1)=…=D(Xn)= в квадрате. ; тогда D((x1+…+xn)/n)=( в квадрате)/n). Замечание: – назыв. среднеквадратическим отклонением случ. величины X и часто обозначается через (сигма).

Теорема: Пусть случ. величина Х биномиально распределена с параметрами n и p, тогда M(X)=np; D(X)=npq; q=1-p; M(X/n)=p; D(X/n)=(pq)/n.

Док-во: Пусть Х- число наступившего события А в n повторн. независ. исп-ях в каждом из которых соб А наступает с вер-тью р => Х=Х1+Х2+…+Хn,где Xi- число наступ-его соб-я А в i испытаний (1in). Х1,Х2,…Хn– независ. и одинаково распределены. 1i  n.

Xi	Xj	0	1
	Pj	q	p

M(Xi)=0q+1p=p. ; M(X)=M(X1+…+Xn)=M(X1)+…+M(Xn)=p+…+p=np.

D(X)=D(X1+…+Xn)=D(X1)+…+D(Xn)=pq+..+pq=npq. Теорема доказана.

Пример: Пусть Х-бином. Распред-а n=3, p=0,8 ; M(X)=30,8=2,4 ; D(X)=30,80,2==0,48.

29,Случайные величины. Функции распределения и их свойства.

Опр. Случайной величиной Х называется функция X(w), отображающая пространство элементарных исходов Ω во множестве действительных чисел R.

Множество значений случайной величины обозначается Ω_х.

Опр. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет в результате эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа х. . .

Свойство 1. Функция распределения F(x)–неубывающая функция, т.е. для таких что x₁<x₂ . Пусть х₁ и х₂ принадлежат множеству Ω_х и х₁<х₂.Событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньшее, чем х₂, т.е. , представим в виде объединения двух несовместимых событий . Тогда по теореме сложения вероятностей получим , т.е. . Поскольку , то .