44. Центральная предельная теорема

Многие непрерывные случайные величины имеют нормальное распределение. Это обстоятельство во многом определяется тем, что суммирование большого числа случайных величин с самыми разными законами распределения приводит к нормальному распределению этой суммы.

Указанное свойство подтверждается интегральной предельной теоремой, доказанной Ляпуновым.

Теорема. Если случайная величинаХ представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, тоХ имеет распределение, близкое к нормальному.

Центральная предельная теорема имеет огромное значение для практики.

Допустим, определяется некоторый экономический показатель, например, потребление электроэнергии в городе за год. Величина суммарного потребления складывается из потребления энергии отдельными потребителями, которая имеет случайные значения с разными распределениями. Теорема утверждает, что в этом случае, какое бы распределение не имели отдельные составляющие, распределение результирующего потребления будет близко к нормальному.

Однако следует иметь в виду, что при усилении влияния отдельных факторов могут появляться отклонения от нормального распределения результирующего параметра, например, может возникнуть асимметрия или эксцесс. Поэтому большое значение на практике уделяется экспериментальной проверке выдвинутых гипотез, в том числе и гипотезы о нормальном распределении.

Поэтому, в некоторых случаях приходится рассматривать распределение случайной величины, имеющие определенные отличия от нормального. Для оценки этого отличия введены специальные характеристики. К ним относятся, в частности, асимметрия и эксцесс.

Асимметрией распределения случайной величины называется отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратичного отклонения:

.

Эксцессом распределения случайной величины называют число, определяемое выражением:

.

Для нормального распределения , поэтому эксцесс равен нулю.

35. Моменты случайной величины

Моме́нт случа́йной величины́ — числовая характеристика распределения данной случайной величины. Определения

Если дана случайная величина Х определённая на некотором вероятностном пространстве, то:К-м нача́льным моментом случайной величины Х где называется величина если математическое ожидание в правой части этого равенства определено; К-м центра́льным моментом случайной величины называется величина

К-м абсолю́тным и К -м центральным абсолютным моментами случайной величины называется соответственно величины и К-м факториальным моментом случайной величины Х называется величина

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.

Абсолютные моменты могут быть определены не только для целых k, но и для любых положительных действительных в случае, если соответствующие интегралы сходятся.

17,Вероятность отклонения относительной частоты

Допустим,что производится n независимых испытаний в кажд из которых может произойти или не может произойти соб А,с вероятностью его появления Р отличное от 0 и1. Если в n испыт соб А происх М раз, то дробь n/м наз относительной частототой появления соб А. Величина /м\ n-р/ наз отклонением относительной частоты отвероятности соб А. В случае когда n стремиться к бесконечности,то относит частота м/ n совпадает со статистич вероятностью появления соб А,на практике статистич вер всегдаотличается от теоритич вер р, но не значительно.Оно не будет превосходить Е(эпсилон).найдем. Р(/м\ n-р/)<Е)= р(-Е< м\ n-р<Е)= Р(-Е+р< м\ n<Е+р)=р(-Еn+ np<m<Еn +np) примерно равно Ф(В)-В(альфа)

В=Еn+np-np\корень квадратный из npq=E* на корень квадратный из n\pq. Альфа =тоже самое только –Е = тоже самое только –Е. Р(|m\n-p|<E) примерноравно Ф, (Екорень квадр из n\pq)-Ф(-Е коркв из n\pq) =2Ф( Екор кв из n\pq )

41, СОБЫТИЯ СЛУЧАЙНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ

— такие случайные события А и В, для которых вероятность Р одновременного наступления 2-х событий А к В равна произведению вероятностей наступления каждого из них в отдельности: Р(АВ) = Р(А)·Р(В). Аналогично определение независимости п случайных событий. Это определение распространяется на независимость случайных величин, а именно, случайные величины X1, Х2, ..., Хп независимы, если для любой группы Хi1, Xi2, ..., Xik, этих величин верно равенство: Р(Хi1 ≤ хi1, Хi2 ≤ хi2, ..., Хik≤ xik) = Р(Хi1 ≤ хi2)Р(Хi2 ≤хi2)...(Р(Хik ≤ хik); 1≤ k ≤ n. При решении геол. задач методами теории вероятностей и математической статистики корректная оценка зависимости изучаемых величин часто является наиболее сложной и ответственной частью исследования..

31.Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

Если функция распределения Fx (x) непрерывна, то случайная величина x называется непрерывной случайной величиной.

Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины px (x), которая связана с функцией распределения Fx (x) формулами

и .

Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины .

+ 27.Равномерное распределение

прямоугольное распределение, специальный вид распределения вероятностей случайной величины Х, принимающей значения из интервала (а — h, a + h); характеризуется плотностью вероятности:

Математическое ожидание:

Ех = a, дисперсия Dx = h2/3, характеристическая функция:

С помощью линейного преобразования интервал (а — h, a + h) может быть переведён в любой заданный интервал. Так, величина Y = (X — a + h)/2h равномерно распределена на интервале (0, 1). Если Y1, Y2, ..., Yn равномерно распределены на интервале (0, 1), то закон распределения их суммы, нормированной математическим ожиданием n/2 и дисперсией n/12, при возрастании n быстро приближается к нормальному распределению (даже при n = 3 приближение часто бывает достаточным для практики).

24. Плотность вероятности.ЕЕ свойства.