- •С одержание
- •Тема 11. Линейное программирование 38
- •Введение
- •Студенты должны знать:
- •Приобрести практические навыки:
- •Курс математики состоит из следующих разделов:
- •Содержание разделов дисциплины «математика»
- •Раздел 1. Основы алгебры и анализа
- •Раздел 2. Интегральное исчисление. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ряды
- •Раздел 3. Теория вероятностей
- •Раздел 4. Численные методы и оптимизационные задачи
- •Основные теоретические положения
- •Тема 1. Матрицы, определители, системы линейных уравнений
- •Тема 2. Элементы аналитической геометрии
- •Тема 3. Предел функции
- •Тема 4. Производная
- •Тема 5. Исследование функции и построение графика
- •Тема 6. Неопределенный интеграл
- •Тема 7. Функция двух переменных
- •Тема 8. Числовые и степенные ряды
- •Тема 9. Дифференциальные уравнения
- •Виды дифференциальных уравнений
- •Тема 10. Элементы теории вероятностей и математическая статистика Случайные события
- •Основные формулы комбинаторики
- •Случайные величины
- •Числовые характеристики случайной величины
- •Комплексные числа
- •Тема 11. Линейное программирование
- •Контрольная работа № 1
- •Методические указания по выполнению и оформлению контрольной работы № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Методические указания по выполнению и оформлению контрольной работы № 2
- •Формы и содержание отчетности студентов Формы отчетности студентов
- •Вопросы к зачету (1 семестр)
- •Вопросы к экзамену (2 семестр)
- •Список литературы
- •Математика
- •1 62600, Череповец, ул. Сталеваров, 44
Тема 2. Элементы аналитической геометрии
Угловой коэффициент прямой - это тангенс угла наклона прямой к оси OX.
Будем обозначать его буквой k. Следовательно, k = tg
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Если прямая не параллельна оси OY , то ее уравнение y = kx + b, где b - ордината точки пересечения прямой с осью OY, k - угловой коэффициент прямой, (x,у) - координаты любой точки на прямой.
Уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0 ,y0 ) и имеющей угловой коэффициент k, y - y0 = k (x - x0 ),
где (x0 ,y0 ) - координаты заданной точки на прямой, k - угловой коэффициент прямой, (x,y) - координаты любой точки на прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1(x1 ,y1) и M2 (x2 ,y2),
где (x 1,y 1) - координаты одной точки на прямой, (x2 ,y2 ) - координаты другой точки на прямой, (x,y) - координаты любой точки на прямой.
Общее уравнение прямой: Ax + By + C = 0,
где A, B, C - заданные числа, причем A и B одновременно в нуль не обращаются, (x,y) - координаты любой точки на прямой. Если B не обращается в нуль, то уравнение можно преобразовать следующим образом : , тогда
6. Условие параллельности двух прямых: k1 = k2,
где k1 и k2 - угловые коэффициенты прямых.
7. Условие перпендикулярности двух прямых
k 1 k2 = -1 ,
где k 1 и k 2 - угловые коэффициенты прямых.
8. Нахождение координат середины отрезка
Если точка A имеет координаты (xa,ya), а точка B - (xb,yb), то координаты середины О отрезка АB можно найти по формулам:
9. Нахождение длины отрезка
Если точка А имеет координаты (xa ,ya), а точка В - (x b,yb ), то длину отрезка АВ можно найти по формуле :
10. Деление отрезка в данном отношении
Если точка A имеет координаты (xa ,ya ), а точка B - (xb ,yb ), то координаты точки С делящей отрезок АB в отношении m : n можно найти по формулам :
Тема 3. Предел функции
Определение Областью определения функции называют те значения , для которых данное выражение имеет смысл и значения конечны.
Определение Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если для любого > 0 найдется такое число > 0, что при всех , удовлетворяющих неравенству , будет выполнено неравенство
, то число называют пределом функции в точке , то есть A= .
Для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны левосторонний и правосторонний пределы в этой точке.
Определение Если для любого существует > 0, такое, что при всех из - окрестности будет выполнено условие , то предел функции в точке равен бесконечности: .
Определение Если же для любого существует , такое, что при всех , то является пределом функции при , стремящемся к бесконечности: .
Отметим следующие свойства пределов:
1. Если существует, то он единственный;
2. ( постоянное число);
3.
4.
5. ( )
Для вычисления пределов важны следующие свойства бесконечно малых величин. Пусть и ─ бесконечно малые, а ─ ограниченная функция в окрестности точки . Тогда верны утверждения:
1. ─ бесконечно малая величина в окрестности точки ;
2. ─ бесконечно малая величина в окрестности точки ;
3. ─ бесконечно малая величина в окрестности точки ;
4. Если существует , то это равносильно тому, что в окрестности точки , где ─ бесконечно малая величина в окрестности этой точки.