II. Элементы линейной алгебры
1. Выбрать правильный ответ. Обратная матрица существует:
а) для любой матрицы;
б) для любой квадратной матрицы;
в) для квадратной матрицы, определитель которой не равен нулю;
г) для квадратной матрицы, определитель которой неотрицателен.
2. Какое из нижеперечисленных свойств не является свойством определителя:
а) если две строки (два столбца) поменять местами, то знак определителя изменится на противоположный;
б) чтобы умножить определитель на число, нужно умножить на это число каждый элемент определителя;
в) определитель равен сумме произведений элементов строки (столбца) и их алгебраических дополнений;
г) если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить линейную комбинацию других строк, то определитель не изменится?
3. Выбрать все правильные ответы.
Элементарным преобразованием матрицы является:
а) перемена местами двух строк или столбцов;
б) умножение элементов строки (столбца) на число;
в) транспонирование;
г) прибавление к элементам строки (столбца) линейной комбинации параллельных строк (столбцов).
4. Какой из определителей равен 7?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
5. Выбрать правильное.
(Aij – алгебраическое дополнение элемента aij определителя Δ).
а) Δ = а21А11 + а22А12 + а23А13;
б) Δ = а11А21 + а12А22 + а13А23;
в) Δ = а11А11 + а21А12 + а31А13;
г) Δ = а21А21 + а22А22 + а23А23.
6.
Вычислить определитель:
.
7. Установить правильное соответствие:
-
а) матрицу преобразовали так, что столбцы стали строками;
1) симметричная матрица;
б) в матрице все элементы равны нулю;
2) невырожденная матрица;
в) определитель матрицы не равен нулю;
3) нулевая матрица;
г) матрица составлена из алгебраических дополнений её элементов и транспонирована;
4) кососимметричная матрица;
д) в матрице элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, остальные - нули;
5) присоединенная матрица;
е) матрица равна транспонированной;
6) транспонированная матрица;
ж) все элементы матрицы равны единице;
7) обратная матрица;
з) матрица равна транспонированной со знаком «минус»;
8) единичная матрица.
и) при умножении на эту матрицу получается единичная.
8. Установить правильное соответствие:
-
а) система линейных уравнений имеет единственное решение, если
1) ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы системы и меньше числа неизвестных;
б) система линейных уравнений не имеет решений, если
2) ранг расширенной матрицы больше ранга основной матрицы системы;
в) система линейных уравнений имеет множество решений, если
3) ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы системы и равен числу неизвестных.
9. Исследовать систему на совместность
10. Укажите все пары матриц, которые можно перемножить между собой:
A
=
. 
11. Найти произведение матриц А и В:
А
=
;
В =
.
12.
Найти обратную матрицу для А, если А
=
.
13.
Найти ранг матрицы В =
.
14. Решить матричное уравнение AXB=C, если
A
=
, B
=
, C
=
.
15. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
16. Выбрать правильный ответ.
Собственные
числа и собственные векторы матрицы А
=
:
а)
λ
= 1, r
=
;
б) λ
= −2, r
=
в)
λ
= 2, r
=
