1. Комплексные числа

1.Установить правильное соответствие:

а) z = x + iy;	1) тригонометрическая форма;
б) z = r^iφ;	2) алгебраическая форма;
в) z =(cos φ+isin φ).	3) показательная форма.

2. На комплексной плоскости число z = −1 + i расположено:

а) в I четверти;

б) во II четверти;

в) в III четверти;

г) в IV четверти.

3. Для чисел z₁ = − 1+2i и z₂ = 2− i вычислить:

а) сумму;

б) произведение;

в) частное.

4. Вычислить по формуле Муавра ( )¹⁵.

2. Интегральное исчисление функций одной переменной

1.Установить правильное соответствие:

а) ;	1) arcsin + C;
б) ;	2) − cos x + C;
в) ;	3) sin x+ C;
г) ;	4) e^x+ C;
д) ;	5) + С;
е) ;	6) ln + C;
ж) ;	7) – ln +C;
з) ;	8) ln + C;
и) ;	9) arctg + C;
к) ;	10) + C;
л) ;	11) + C;
м) ;	12) − ctg x+ C;
н) .	13) ln + C.

2. Вычислить:

а) ;	и) ;
б) x dx;	к) ;
в) dx;	л)
г) ;	м) dx;
д) ;	н) ;
е) ;	о) ;
ж) dx;	п) ;
з) dx;	р) .

3. Почему, не вычисляя интеграла dx, можно сказать, что он равен нулю?

4. Выбрать все правильные ответы.

Определенный интеграл применяется для нахождения:

а) объeма тела вращения;

б) площади плоской фигуры;

в) ускорения тела;

г) длины дуги кривой;

д) площади поверхности вращения;

е) работы переменной силы.

5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у =sin x, у =cos x, x = 0.

6. Исследовать сходимость интегралов, сходящиеся вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

7. Вычислить среднее значение y = + на отрезке [1;4].

8. Вычислить длину дуги кривой от t = 0 до t = .

9. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями y² = x и x² = y.

10. Оценить интеграл .

9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

1. Найти область определения функций:

а) u = ;

б) u = arcsin (x + y);

в) u = y + .

2. Найти частные производные для функций:

а) u = x² + 2y² – 3xy ;

б) u = ;

в) z = ;

г) u = + ;

д) z = arctg .

3. Найти полный дифференциал функции z = arctg .

4. Найти , если z = , x = a cos t, y = a sin t.

5. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

z = x² – 2xy+ y²− x + 2y в точке М (1; 1; 1).

6. Вычислить приближенно с помощью дифференциала .

7. Выбрать правильный ответ.

Градиент функции z = x² + 3y² в точке А(1;1) равен:

а) {1;6};

б) 9;

в) {1;8};

г) {−1;8}.

8. Найти экстремум функции z = x²+ xy+ y² 3x 6y.

9. Выбрать правильный ответ.

Наибольшее и наименьшее значения функции z = xy + x + y в квадрате, ограниченном прямыми x = 1, x = 2, y = 2, y = 3:

а) z_наим = 5; z_наиб = 11;

б) z_наим = 3; z_наиб = 5;

в) z_наим =5; z_наиб = 13;

г) z_наим = −3; z_наиб = 4.

Ответы