4 Вопрос

Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде

, (1)

где , , - направляющие косинусы нормали плоскости, p - расстояние от начала координат до плоскости.

Общее уравнение плоскости

приводится к нормальному виду (1) умножением на нормирующий множитель, определяемый формулой

;

знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.

Уравнение плоскости проходящей через 3 заданные точки:

Рассмотрим точки М₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃) в общей декартовой системе координат.

Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М₁,М₂,М₃ необходимо, чтобы векторы  были компланарны.

( ) = 0

Таким образом,      Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

Уравнение плоскости в отрезках: Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D)

, заменив , получим уравнение плоскости в отрезках:      Числа (a, b, c) являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.

5 Вопрос

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

Расстояние от произвольной точки М₀(х₀, у₀, z₀)  до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:

           

6 Вопрос

Прямая в пространстве:

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей -- и , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений

(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p – каноническое уравнение прямое

Расстояние от точки до прямой:

Если прямая описывается уравнением Ах+Ву+Сz+D=0 а точка имеет координаты (x1,y1,z1) , то расстояние от этой точки до прямой рассчитывается по формуле (Ax1+By1+Cz1+D)/корень из (A*A+B*B+C*C)

7 Вопрос

Матрица- это прямоугольная таблица из m*n действительных чисел, где m- число строк , n- число столбцов.

Виды матриц:

1. Матрица из 1-ой строки – матрица-строка

2. Матрица из одного столбца – матрица-столбец

3. Матрица элементы которой 0 – нулевая

4. Матрица в которой n=m – квадратная , если n неравно m то прямоугольная

5. Квадратная матрица – диагональная , если все её неравные элементы расположены на главной диагонали( а если элементы главной диагонали равны то эта диагональная матрица называется скалярной)

6. Квадратная матрица у которой все элементы стоящие ниже главной диагонали равны 0 называется матрицей треугольного вида

Операции над матрицами:

а) Транспонирование – замена всех строк на столбцы с сохранением номеров

б) сложение матриц (только для матриц одного размера) – при сложении матриц A и B получится такая матрица C каждый элемент которой будет равен сумме соответствующих элементов матриц A и B.

в) Умножение матрицы на число – каждый элемент матрицы умножается на это число

Свойства операций над матрицами:

1. A+B=B+A

2. (A+B)+C=A+(B+C)

3. A+0=A

4. A+(-A)=0

5. 1*A=A

6. k*(n*A)=(k*n)*A

7. k*(A+B)=k*A+ k*B

8. (k+ n)*A=k*A+ n*A