13 Вопрос

 Определение линейного пространства

     Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и обозначать ...), в котором установлены правила:

     1) любым двум элементам соответствует третий элемент называемый суммой элементов (внутренняя операция);

     2) каждому и каждому отвечает определенный элемент (внешняя операция).

     Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:

     I.

     II.

     III. (нулевой элемент, такой, что ).

     IV. (элемент, противоположный элементу ), такой, что

     V.

     VI.

     VII.

     VIII.      Аналогично определяется комплексное линейное пространство (вместо R рассматривается C).

Примеры:

1. Множества обычных геометрических векторов приложенных к общему началу образуют линейное пространство, если плюс в кружочке и умножить в кружочке введены естественным образом

2. Множество из одного нулевого элемента, если 0+0=0(нули с толстыми стенками а плюс в кружочке) и k*0=0(где * умножение в кружочке)

3. m*n , если плюс и умножение в кружочках введены как в матричном исчислении

Приведем вывод ряда следствий из этих аксиом линейного пространства (хотя, конечно, в каждом конкретном случае они достаточно очевидны).

1. Уравнение u+x=v для имеет, причем единственное, решение x=(-u)+v.

2. Действительно, прибавляя -u к левой и правой части, получаем, что x = (-u)+v. С другой стороны, u+(-u)+v=v.

3. Если x+x=x для , то x=0.

Действительно, прибавляя к левой и правой части противоположный элемент -x, получаем, что x=(-x)+x+x=(-x)+x=0.

4. 0v=0 для любого .

Действительно, если x=0v (здесь ), то x+x=0v+0v=(0+0)v=0v=x, и поэтому .

5. r0=0 для , .

Действительно, если x=r0, то x+x=r0+r0=r(0+0)=r0=x, и поэтому x=0.

6. (-1)v=-v для всех .

Действительно, (-1)v+v=(-1+1)v=0v=0, т. е. (-1)v=-v.

7. rv=0 для , тогда и только тогда, когда либо r=0, либо v=0.

Действительно, если , то в поле K существует элемент , и поэтому v=1v=r^-1rv=r^-10=0.

8. r(u-v)=ru-rv для всех , .

Действительно, r(u-v)+rv=r(u-v+v)=ru, т. е. r(u-v)=ru-rv.

9. -(-v)=v для всех .

Действительно, v+(-v)=0, и поэтому -(-v)=v.

14 Вопрос

Линейная зависимость и независимость в линейном пространстве

Система векторов называется линейно независимой, если одному вектору пространства равна только тривиальная комбинация этих векторов

 Система линейно независима

Система векторов произвольного линейного пространства линейно независима если из равенства следует равенство нулю всех коэффициентов

Если существует не тривиальная линейная комбинация , то система векторов линейно зависимая

Система линейно зависима что

Условие зависимости:

Система векторов произвольного линейного пространства линейно зависима тогда и только тогда, когда  хотя бы один вектор системы векторов    линейно выражается через остальные векторы системы.

Чтобы система векторов была линейно зависимой достаточно, чтобы хотя бы 1 вектор являлся линейной комбинацией остальных (вектор-столбец)

Свойства зависимости:

1. любая система векторов содержащая нулевой вектор пространства линейно зависимая

2. система векторов содержащая линейно зависимую систему, сама является линейно зависимой